2017年复旦大学管理学院861概率论与数理统计考研仿真模拟题
● 摘要
一、计算题
1． 设总体4阶中心矩
存在, 则对样本方差
, 有
其中
为总体X 的方差.
并以
简记从1到n 的求和, 于是
由于诸间相互独立, 且
所以,
故
2． 设X 是只取自然数为值的离散随机变量. 若X 的分布具有元记忆性，即对任意自然数n 与m ，都有
【答案】由无记忆性知
或
若把n 换成n-1仍有
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【答案】为书写方便起见, 记
则X 的分布一定是几何分布.
上两式相减可得
若取n=m=l，并设P （X=l）=p，则有
若取n=2，m=l，可得
若令
则用数学归纳法可推得
这表明X 的分布就是几何分布.
3． 某保险公司多年的统计资料表明, 在索赔户中被盗索赔户占20%, 以X 表示在随意抽查的100个索赔户中因被盗向保险公司索赔的户数.
（1）写出X 的分布列；
（2）求被盗索赔户不少于14户且不多于30户的概率的近似值. 【答案】（1）X 服从n=100, p=0.2的二项分布b （100, 0.2）, 即
（2）利用棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理, 有
这表明:被盗索赔户在14与30户之间的概率近似为0.9437.
4． 设二维随机变量（X , Y ）服从二维正态分布
（1）求
【答案】（1）由于
所以
因为
所以
（2）因为
所以由E （X ）=E（Y ）=0, 得
又由对称性
所以得
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（2）求X —Y 与XY 的协方差及相关系数.
这表明, 当
时, X-Y 与XY 不相关.
5． 设二维连续随机变量（X , Y ）的联合密度函数为
试求条件密度函数【答案】因为当
时,
所以当
时,
这是均匀分布
6． 若随机变量
【答案】方程由此得知
其中而方程
可见, 这里的条件分布实质上是一族均匀分布.
无实根的概率为0.5，试求
7． 有两台机器生产同种金属部件，分别在两台机器所生产的部件中各取一容量为m=14和n=12的样本，测得部件质量的样本方差分别为平
下检验假设
若
，此处，检验
，设两样本相互独立，试在显著性水
无实根等价于16-4K<0，所以由题意知
【答案】这是一个关于两正态总体方差的单侧检验问题，
由所给条件算得取显著性水平
可求得临界值为
，拒绝域为此值，如，在Matkb 中输入finv （0.95.13.11）即可给此值）
（可用线性插值法或用统计软件求出
统计量未落入拒绝域中，因此接受原假设.
8 设各零件的质量都是随机变量, 它们相互独立, 且服从相同的分布, 其数学期望为0.5kg , 标准差．
为0.lkg , 问5000只零件的总质量超过2510kg 的概率是多少？
【答案】记
为第i 只零件的质量, 由
得
利用林德伯格-莱维中心极限定理, 所求概率为
这表明:5000只零件的总质量超过2510kg 的概率近似为0.0787.
9． 为了比较测定污水中氯气含量的两种方法，特在各种场合收集到8个污水水样，每个水样均用这两种方法测定氯气含量（单位：mg/L）, 具体数据如下：
表
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