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一、证明题

1． 证明

:

【答案】

故

2． 证明：闭域必是闭集，举例说明反之不真.

【答案】(1) 设D 为闭域，则有开域G 使

其中为G 的边界，设. 中为G 的余集即关于

下证

若不然，则存在

中含有G 的点Q , 于是因此②真，由①知

故不是D 的聚点，这就证明了：若为D 的聚点，则. (2) 例如

3． 设

当当即

求证

时

在区间在

因此D 为闭集.

是闭集，但不是闭域. 上一致连续. 上显然一致连续.

于是当

充分小时

由于

从而

这与以上结论矛盾.

则

且

由

知：对任意

其

的补集. 由于

从而存在

【答案】当

时，结果显然成立.

时，利用一个显然成立的不等式：

可导出

有

因此设令则

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取于是当

时，有

因此

在

上一致连续.

二、解答题

4． 设一质点受力作用，力的方向指向原点，大小与质点到xy 平面的距离成反比，

若质点沿直线

到

【答案】设比例系数为k ，则点到因为力的方向指向原点，故其方向余弦为

其中

力的三个分力为

5． 求出椭球

在第一卦限中的切平面与三个坐标面所成四面体的最小体积.

处的切平面方程为

切平面在坐标轴上的截距分别为：故本题是求函数

在条件设令

下的最小值.

【答案】由几何学知，最小体积存在.

椭球面上任一点

求力所作的功.

平面的距离为z ，故

则椭球面在第一卦限部分上任一点处的切平面与三个坐标面围成的四面体体积为

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解得

故

6． 抛物线

【答案】设圆故

把圆

分成两部分，求这两部分面积之比。

表示另一部分的面积，则

面积为

于是

表示图中阴影部分的面积，

图

7． 设

【答案】因为

求

所以由链式法则得到

最后以

代入即可.

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