2017年湖南大学经济与贸易学院610数学分析考研题库
● 摘要
一、证明题
1． 设
证明
【答案】方法一令 变换的雅可比行列式为
所以
方法二因
对内层积分作定积分变换
2． 设f (x ) 是区间
使得
(1
) (2
)
恰好是
是或
当当
时，取时，取
【答案】因为
在若对任
意
则有则有
第 2 页，共 23 页
则
上的一个非常数的连续函数，M ，m 分别是最大、最小值，求证：
存在
上的最大、最小值(最小、最大值) . 上一个非常数的连续函数，所以
有
使得
使得
设
使
则结论成立. 否则，即存在
点
即总存在
且
重复上述过程：若对任意
或有
或者存在
此时，因为假如即所以
由于矛盾.
并且
有
且
递増有上界
且
使
这样再重复上述过程，
得到
有时，
取
则结论成立. 否则，即存在点
有
此时结论成立.
使
递减有下界，所以存在
是连续函数，可以推出
是
在
上的最小值
是
在上
使
且当
有
时，
取
的最大值.
3． 若在上连续可微，则存在
【答案】因为
在
上连续可微的增函数g 和连续可微的减函数h ，使得
上连续可微，所以
在上连续. 令
因此
，
与
取
在并且
上连续，从而是可积的
且是増函数，
是减函数。
所
以
二、解答题
4． 求下列函数的高阶微分：
【答案】（1）
第 3 页，共 23 页
（2）
第 4 页，共 23 页