2017年湖南大学经济与贸易学院610数学分析考研强化模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 证明：若f 在
【答案】
设
这与题设矛盾. 故 2． 设
【答案】已知
上连续，且对任何
设即f 在且满足
. 即
上恒正.
证明
:
有下界又由
可推出若
则
即
单调递减. 由单调有界定理，在不等式
存在，记为
可知
矛盾.
由此可见
则f 在由题设
知时同理可证f (x ) 恒负. 的极限存在，并求出其极限值.
上恒正或恒负.
假
如
使得
那
么
异号，由根的存在定理知，在区间内至少存在一点
两边，
令
再在不等式
中，令可得
3． 设f (x ) 在
上连续，
绝对收敛，证明：
【答案】因为因为
绝对收敛，当n 足够大的时候
由于的任意性，所以命题成立.
即
解之得
连续，所以当n 足够大的时候
二、解答题
4． 求下列函数的全微分：
【答案】
5． 讨论函数
（1）在【答案】⑴
故
在
可导. 时，
对一切正整数k 有，的任何邻域内都不单调。
6． 求不定积分
【答案】令
则
因为
所以
在
点是否可导？
的一个邻域，使f 在该邻域内单调？
（2）是否存在
（2）当
7． 设
求直线
和抛物线
所围图形绕直线
所以
8． 讨论下列函数列在所给区间上的一致收敛性：
(1
) (3
)
【答案】(1) 方法一
易知当由于
(2)
(4) 时，
所以当n>e时有
）旋转而成的旋转体体积.
【答案】旋转体体积公式为
即在(0, 1) 内单调递减且于是
故方法二
在(0，1) 内一致收敛.
的极限函数当
时恒有于是
取
因为
则当n>N时有
则
因此对一
切0 故(2) 易知当而 在(0，1) 内一致收敛. 时， 所以(3 ) 令 由于 所以 从而 故(4) 易知当 在 上一致收敛. 时， 当 时，对任意正整数N 都有 当 时， 在[0, 1]上不一致收敛.