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一、证明题

1． 设定义在R 上的函数f 在0、1两点连续，且对任何

【答案】由

因为f 在x=l连续，所以当x>0时，

而当

时

又

故f 为常量函数.

2． 设函数明：(1) 存在

【答案】(1) 令

在闭区间[0，1]上连续，在开区间(0, 1) 内可微，且

使得

(2) 存在则

函数函数

在闭区间[0, 1]上连续， 在闭区间[0，1]上连续.

使得

(2)

令

显然

在闭区间[0, 1]上连续，在开区间(0，1) 内可微. 由于

且由(1) 的结论知，存在根据罗尔中值定理，存在由于

所以有

即

..

使得使得

即

即存在

使得

使得

证

有

证明f 为常量函数.

所以

知f (x ) 是偶函数. 因为

由连续函数的零点存在定理知，存在

3． 求证：

(1) (2)

【答案】(1) 已知序列

严格递増，且

又设再根据

显资

项的平均值不等式，有

联合

与

式即得

(2)

记

由第(1) 小题结论，有

再由第(1) 小题结论，有

即有下界，从而极限 4． 证明：若函数上一致连续.

【答案】首先，由

使

得

时，有

其次，由

在

综上，

取

与

事件至少一个发生. 于是，总有

存在. 上连续，且

知对

总

有

其中b 为非零常数，则f (x ) 在存在正数

于是，

对

当

在

上连续，知

存在

当

对

在上连续且一致连续.

时，

有

当

时

，

于是，对上述

的

即

在上一致连续.

二、解答题

5． 设

(1) 求f 的傅里叶级数展开式； (2) 讨论f 的傅里叶级数在【答案】(1) 由于f 在

上是否收敛于f ，是否一致收敛于f? 上为奇函数，故

所以f 的傅里叶级数展开式为

(2) 因为f 在

上除x=0外都连续，故当

又当x=0时，级数收敛于

当

时，级数收敛于

由此可见，f

的傅里叶级数在由于f 在

连续性相矛盾，故f 的傅里叶级数在

6． 计算曲线积分

上收敛于f.

上一致收敛于f , 这就与f 的不

上不一致收敛于f.

其中L 是从点(a ，0, 0) 沿着以下曲线到点(0, 0, c ) 的路径：

【答案】方法一(用参数方程求解) 从

中解出

令

则

且时，有

上不连续，由连续性定理，若级数在

代入椭球面方程整理可得