当前位置：问答库＞考研试题

一、证明题

1． 设函数明：(1) 存在

【答案】(1) 令

在闭区间[0，1]上连续，在开区间(0, 1) 内可微，且

使得

(2) 存在则

函数函数

在闭区间[0, 1]上连续， 在闭区间[0，1]上连续.

使得

(2) 令

显然

在闭区间[0, 1]上连续，在开区间(0，1) 内可微. 由于

且由(1) 的结论知，存在根据罗尔中值定理，存在由于

所以有

即

2． 证明：开集与闭集具有对偶性一若E 为开集，则设这个聚点为A , 则必有

..

为闭集；若E 为闭集，则为开集.

中至少有一个聚点不属于

因此，U

使得使得

即

即存在

使得

使得

证

由连续函数的零点存在定理知，存在

【答案】(1) 设E 为开集，假设不是闭集，则由闭集定义知(A ) 中不含有Ee*的点，这与A

是

因为E 为开集，所以存在点A 的某邻域U (A ) ，使

的聚点矛盾，因此，若E 为开集，则为闭集.

(2) 设E 为闭集，假设不是开集，由开集定义知中至少有一个点不是为B ，则根据内点的定义知，对点B 的任何邻域U (B ) 都有U (B ) 不含于点，因此，B 为E 的聚点，但与

3． 证明：若则

【答案】(1) 若因

为

第 2 页，共 28 页

的内点，设这个点

即U (B ) 中含有E 中的

是闭集矛盾，因而，若E 为闭集，则为开集. 当且仅当a 为何值时反之也成立？

存在N ，使得n>N时，

当n>N时，也

有

于

是

则对任意

所以对于任

意

(2) 当且仅当a=0时，由，证明如下：由.

知，对任意

可推出此时，命题变为：

即

于

存在N ，当n>N时，

但数列

连续. 又问：若

存

在是发散的.

是如果

数列

4． 证明：若f 在点连续，则是否必连续？

【答案】因为f (x ) 在

点

(1) 由不等式故(2) 由(3) 当

即

满足也在点

在I 上连续，那么f 在I 上

使得

当

时

连续，所以对任给

的知，由在点连续.

在点

连续. 财，

而|f|

在连续，故

在上连续时，f

在上不一定连续. 例如

在R 上处处不连续.

则与为

常值函数，在R 上处处连续，但

二、解答题

5． （1）问

【答案】（1

）因为

从而

即

是以1为周期的周期函数，其图像如图所示

.

图

（2）不一定. 例如，函動

6． 在抛物线

【答案】设

就不是周期函数.

哪一点的法线被抛物线所截之线段为最短?

为抛物线

上的一点，则过该点的切线斜率为：

故点M 0的法线方程为：

第 3 页，共 28 页

是否是周期函数？并画出它的图形（其中

所以

； ：表示的整数部分）

按

的定义，

即得

（2）两个周期函数之和是否一定是周期函数？

设法线与抛物线

的另一交点为

则由韦达定理可知，两交点的距离d 满足

令

7． 计算积分

【答案】

的原函数不是初等函数，

且

将

在0与1没定义，

却有极限

则

由

得

故所求点的坐标为

在0与1作连续延拓，即

从而已

知

上连续，于是

8． 计算下列引力：(1) 均匀薄片引力；(2) 均匀柱体

对于点

对于轴上一点

处的单位质量的

处的单位质量的引力；(3) 均匀密

在区间[0, 1]上连续.

而函数

，

在闭的矩形区

域

度的正圆锥体(高h , 底半径R ) 对于在它的顶点处质量为m 的质点的引力.

【答案】(1) 设物体密度为U , 由对称性，引力必在Z 轴方向上因此

故

(2) 设物体密度为

则由对称性知

，

下求F ；

第 4 页，共 28 页