2018年云南农业大学园林园艺学院314数学(农)之工程数学—线性代数考研基础五套测试题
● 摘要
一、解答题
1．
已知矩阵可逆矩阵P ，使
和
若不相似则说明理由。
试判断矩阵A 和B 是否相似，若相似则求出
【答案】由矩阵A 的特征多项式
得到矩阵A
的特征值是当
时，由秩
知
有2个线性无关的解，即
时矩阵A 有2个线性无关的特征向量，矩阵
A 可以相似对角化，因此矩阵A 和B 不相似。 2．
设矩阵.
【答案】
求A 的特征值，并讨论A 是否可对角化? 若A 可对角化，则写出其对角
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于是A 的3个特征值为（Ⅰ）当
且
时，A 有3个不同特征值
，故4
可对角化，且可对角化为
（Ⅱ）当a=0
时
，
此时A 有二重特征值1，
仅对
应1个线性无关的特征向量，故此时A 不可对角化.
（Ⅲ
）当
时，
此时
A
有
二重特
征值
而
仅对应1个线性无关的特征向量
，故此时A 不可对角化
.
3． 设二次型
（Ⅰ）用正交变换化二次型
（
Ⅱ）求【答案】（Ⅰ）由
知，矩阵B 的列向量是齐次方程组Ax=0的解向量.
为标准形，并写出所用正交变换；
矩阵
A 满足
AB=0, 其中
记
值（至少是二重），
根据值是0, 0, 6.
设有
对
正交化，令的特征向量为
有
则
是
的线性无关的特征向量.
由此可知，是矩阵
A 的特征
故知矩阵A 有特征值因此，矩阵A 的特征
那么由实对称矩阵不同特征值的特征向量相互正交，
则
解出
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再对
，单位化，得
那么经坐标变换
即
二次型化为标准形（Ⅱ）因为
又
有
所以由
进而
得
其中
于是
4．
已知三元二次型
（Ⅰ）用正交变换把此二次型化为标准形，并写出所用正交变换； （Ⅱ）若A+kE:五正定，求k 的取值. 【答案】（Ⅰ）因为A 各行元素之和均为0,
即值
，
由征向量.
因为
是
的特征向量.
是，由此可知
其矩阵A 各行元素之和均为0, 且满足
是A 的特征
可知-1是A 的特征值
，不正交，将其正交化有
1的线性无关的特
再单位化，可得
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