2018年云南农业大学园林园艺学院314数学(农)之工程数学—线性代数考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、解答题
1．
已知
的秩为
2.
二次型
求实数a 的值；
求正交变换x=Qy使得f 化为标准型. 【答案】
⑴由
可得
，
则矩阵
解得B 矩阵的特征值为
：当
时，
解
得对应的特征向量为
当时，
解
得对应的特征向量为
对于
解得对应的特征向量为
：
将单位转化为
：
. 令X=Qy,
则
2．
已知三元二次型
其矩阵A 各行元素之和均为0, 且满足
其中
（Ⅰ）用正交变换把此二次型化为标准形，并写出所用正交变换； （Ⅱ）若A+kE:五正定，求k 的取值. 【答案】（Ⅰ）因为A 各行元素之和均为0,
即值
，
由征向量.
因为
是
的特征向量.
是
1的线性无关的特
，由此可知
是A 的特征
可知-1是A 的特征值
，不正交，将其正交化有
再单位化，可得
那么令
则有
（Ⅱ）因为A 的特征值为-1, -1, 0, 所以A+kE的特征值为k-l , k-1，k , 由A+kE正定知其特征值都大于0,
得
3．
设二次型
（1）证明二次型f
对应的矩阵为（2
）若
【答案】（1）由题意知，
记
正交且均为单位向量，证明f
在正交变换下的标准形为
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故二次型/
对应的矩阵为（2）证明：
设则
而矩阵A 的秩
故f 在正交变换下的标准形为 4．
设
为三维单位列向量，并且
记
证明
：
（Ⅰ）齐次线性方程组Ax=0
有非零解
；
（Ⅱ）A 相似于矩阵
则
故Ax=0有非零解.
（Ⅱ
）由（Ⅰ）知向量
.
又且
另外，由
故可知
为A 的特征值，
为4的2重特征值，
为对应的特征向量.
为A 的3个
为4的单重特征值.
故A
有零特征值
的非零解即为
对应的特征
，由于
所以为矩阵对应特征值所以为矩阵对应特征值
所以
的特征向量
； 的特征向量； 也是矩阵的一个特征值；
【答案】（Ⅰ）由于A
为3
阶方阵，且
为两个正交的非零向量，从而线性无关. 故
线性无关的特征向量，
记
则
即A 相似于矩阵
二、计算题