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一、证明题

1． 设A ，B ，C 三事件相互独立，试证A —B 与C 独立.

【答案】因为

所以A-B 与C 独立.

2． 设随机变量X 服从参数为p 的几何分布，试证明

：

【答案】

3． 设连续随机变量X 的分布函数为F （x ），且数学期望存在，证明：

【答案】

将第一个积分改写为二次积分，然后改变积分次序，得

第二个积分亦可改写为二次积分，然后改变积分次序，可得

这两个积分之和恰好是所要求证明的等式.

4． 设X 〜N （0, 1）, Y 各以0.5的概率取值±1, 且假定X 与Y 相互独立. 令

（1）

（2）X 与Z 既不相关也不独立. 【答案】（1）由全概率公式可得

所以Z 〜N （0, 1）.

（2）因为E （X ）=0, E （Y ）=0, 且X 与Y 相互独立, 所以

证明:

所以X 与Z 不相关. 为证明X 与Z 是不独立的, 我们考查如下特定事件的概率, 且对其使用全概率公式

考虑到而

所以

故有

即X 与Z 不独立.

5． 试分别设计一个概率模型问题，用其解答证明以下恒等式

（1）（2）（3）

【答案】设计如下的试验，计算相应的概率，即可证得相应的恒等式.

（1）口袋中装有N 个球，其中m 个为白球. 从中每次取出一球，不放回. 试求迟早取到白球的概率.

因为袋中N 个球中只有m 个白球，在不放回抽样场合，可能第1次抽到白球，或第2次抽到白球，……，或最迟在N-m+1次必取到白球，若记

为第k 次取到白球的概率，则有

且

即

对上式两边同乘N/m即得（1）. 而（2）（3）两个等式可在如下设计的试验中获得证实. （2）口袋中装有N 个球，其中m 个为白球. 从中每次取出一球，若取出白球，则放回；若取出的不是白球，则换一个白球放回. 试求迟早取到白球的概率.

（3）口袋中装有N 个球，其中m 个为白球. 从中每次取出一球后放回，若取出的不是白球，则不仅放回，且追加一个白球进去. 试求迟早取到白球的概率. 6． 若

为从分布族

为充分统计量.

【答案】样本X 的联合密度函数为

由因子分解定理知,

7． 证明:若与

【答案】由F 变量的构造知立, 因此F 变量r 阶矩为

, 其中. 由

且v 与W 相互独

容易算得

则当

时有

由此写出E （F ）

为充分统计量.

中抽取的简单样本,

试证

从而可得当r=l时, 只要

就有

在其他场合, 不存在.

当r=2时, 只要

就有