2017年江西农业大学园林与艺术学院701数学之概率论与数理统计考研仿真模拟题
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2017年江西农业大学园林与艺术学院701数学之概率论与数理统计考研仿真模拟题（一）.... 2 2017年江西农业大学园林与艺术学院701数学之概率论与数理统计考研仿真模拟题（二）.. 10 2017年江西农业大学园林与艺术学院701数学之概率论与数理统计考研仿真模拟题（三）.. 17 2017年江西农业大学园林与艺术学院701数学之概率论与数理统计考研仿真模拟题（四）.. 23 2017年江西农业大学园林与艺术学院701数学之概率论与数理统计考研仿真模拟题（五）.. 32
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一、证明题
1． 设
为来自
的i.i.d 样本，其中
）.
样本的联合密度函数为
两个参数空间分别为
利用微分法，在
下
于是似然比统计量为
在
时
由于
故只需考虑
的情形，此时A 为
的单
分别为
的MLE.
而在
下
的MLE
为
未知. 证明关于假设
的单侧t 检验是似然比检验（显著水平
【答案】记
调增函数，故此时的似然比统计量A 是传统的t 统计量的増函数，即此时的似然比检验等价于单侧的t 检验，拒绝域
由t 检验的结论知，
这就完成了证明.
2． 设A ，B ，C 三事件相互独立，试证A —B 与C 独立.
【答案】因为
所以A-B 与C 独立.
3． 设随机变量
相互独立, 且
试证:
【答案】而事件
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的联合密度为
从而该事件的概率为
4． 口袋中有a 个白球、b 个黑球和n 个红球，现从中一个一个不返回地取球. 试证白球比黑球出现得早的概率为a/（a+b），与n 无关.
【答案】记事件A 为“第一次取出白球”，B 为“第一次取出黑球”，C 为“第一次取出红球容易B ，C 互不相容，看出，事件A ，且
记
（2）设其中
以下对n 用归纳法：
（1）当n=0时，则“白球比黑球出现得早”意味着：第一次就取出白球，所以有
则
代入可得
由归纳法知结论成立.
5． 设时,
为一独立同分布的随机变量序列, 已知
近似服从正态分布, 并指出此正态分布的参数.
【答案】
因为
为独立同分布的随机变量序列,
所以
也是独立同分布的随机变量序列.
试证明:当n 充分大
又设
为“有n 个红球时，白球比黑球出现得早”，
根据林德伯格-莱维中心极限定理知, 近似服从正态分布, 其参数为
6． 总体
（1）证明
其中θ＞0是未知参数，又是参数的无偏估计和相合估计；
为取自该总体的样本，为样本均值.
（2）求的最大似然估计，它是无偏估计吗？是相合估计吗？ 【答案】（1）总体
则
从而
于是，
这说明
是参数的无偏估计. 进一步，
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这就证明了也是的相合估计. （2）似然函数为为
因而θ的最大似然估计为
下求
的均值与方差，由于x （n ）的密度函数为
故
从而
这说明
不是θ的无偏估计，而是θ的渐近无偏估计. 又
因而 7． 设
为独立同分布的随机变量序列, 方差存在, 令
, 证明:则
服从大数定律.
对任意的
因而
证明有
所以由马尔可夫大数定律知
服从大数定律.
, 有
又设
为一列常数, 如果存在
是θ的相合估计.
显然L （θ）是θ的减函数，且θ的取值范围
常数c>0, 使得对一切n 有
【答案】不妨设
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