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一、证明题

1． （伯恩斯坦大数定律）设

证明:

【答案】

记

所以

由的任意性知

所以由马尔可夫大数定律知

2． 设总体X 的均值为方差为

线性无偏估计量. 证明：与T 的相关系数为

【答案】由于于是

而

故有

从而

3． 设A ，B ，C 三事件相互独立，试证A —B 与C 独立.

【答案】因为

所以A-B 与C 独立.

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是方差一致有界的随机变量序列, 且当

任

对

存在M>0,

当

时,

一致地有

时,

有

服从大数定律.

服从大数定律.

是来自该总体的一个样本，

其中为的任一凸

为的线性无偏估计量，故

4． 设随机变量X 的密度函数p （x ）关于c 点是对称的，且E （X ）存在，试证：

（1）这个对称中心c 既是均值又是中位数，即（2）如果c=0，则

因此

所以得

又由

所以

（2）当c=0时，

又由

由此得结论.

5． 设

（1）（2）（3）

是取自某总体的容量为3的样本，试证下列统计量都是该总体均值的无偏估计，

由此得

【答案】（1）由p （x ）关于c 点对称可知：

在方差存在时指出哪一个估计的有效性最差？

【答案】先求三个统计量的数学期望，

这说明它们都是总体均值的无偏估计，下面求它们的方差，不妨设总体的方差为

则

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不难看出

由此可推测。当用样本的凸组合

从而

的有效性最差.

估计总体均值时，样本均值是最有效的。

6． 验证：泊松分布的均值λ的共轭先验分布是伽玛分布.

【答案】泊松分布的概率函数为数为

对来自泊松分布

的样本

的后验分布为

若的先验分布为伽玛分布，其密度函

即的后验分布为

仍为伽玛分布，这说明伽玛分布是泊松分布的均值的

共轭先验分布.

7． 若P （A ）>0，P （B ）>0，如果A ，B 相互独立，试证：A ，B 相容.

【答案】因为P （AB ）=P（A ）P （B ）>0，所以

8． 设

是来自

的样本,

是来自

即A ，B 相容.

的样本, 两总体独立.c , d

是任意两个不为0的常数, 证明

其中

【答案】由条件有

且

相互独立, 故

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, 与分别是两个样本方差.