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一、证明题

1． 设总体二阶矩存在,

是样本, 证明

则

由

因而

所以

2． 设随机变量序列

独立同分布, 其密度函数为

试证:

【答案】因为当x<0时,

有

当

„所以, 对任意的

时,

有

, 当

所以有

3． 总体

（1）证明

结论得证.

其中θ＞0是未知参数，又是参数的无偏估计和相合估计；

从而

于是，

这说明

是参数的无偏估计. 进一步，

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与的相关系数为

【答案】不妨设总体的方差为

由于,

其中常数而当时, 有

, 令

时,

有

为取自该总体的样本，为样本均值.

（2）求的最大似然估计，它是无偏估计吗？是相合估计吗？ 【答案】（1）总体

则

这就证明了也是的相合估计. （2）似然函数为为

因而θ的最大似然估计为

下求

的均值与方差，由于x （n ）的密度函数为

故

从而

这说明

不是θ的无偏估计，而是θ的渐近无偏估计. 又

因而

是θ的相合估计.

的方差为

【答案】

5． 设变量序列

为独立同分布的随机变量序列, 其方差有限, 且Xn 不恒为常数. 如果不服从大数定律.

则

由此得

倘若

服从大数定律, 则对任意的

有

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显然L （θ）是θ的减函数，且θ的取值范围

4． 证明:容量为2的样本

, 试证:随机

【答案】

于是, 当n 充分大时, 有

记

则

由的任意性,

不妨取

咱矛盾, 所以

则当n 充分大时,

有不服从大数定律.

,

这与前面推出的

, 由此得

6． 设X 为仅取正整数的随机变量，若其方差存在，证明：

【答案】由于其中

代回原式即得证.

7． 设

是来自泊松分布

的一个样本.

在显著性水平为时给出其拒绝域；

（2）证明（1）中的拒绝域也是如下检验问题

的显著性水平为的显著性检验的拒绝域；

（3）在样本量n 较大时，利用中心极限定理给出近似的拒绝域. 【答案】（1

）泊松分布

的充分统计量是，

它是的无偏估计.

若原假设

成立，

则不应该很大，因此，当较大时，就应该拒绝原假设

所以此检验的拒绝域应有如下形式

其中c 应由给定的显著性水平确定，即c 由下列概率不等式确定

或

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存在，所以级数绝对收敛，从而有

（1）利用泊松分布的充分统计量对如下检验问题