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一、证明题

1． 同时掷5枚骰子，试证明：

（1）P （每枚都不一样）=0.0926； （2）P （一对）=0.4630； （3）P （两对）=0.2315； （4）P （三枚一样）=0_1543； （5）P （四枚一样）=0.0193； （6）P （五枚一样）=0.0008. 【答案】同时掷5枚骰子共有（1）

2枚组成“一对”，共有以

（3）先将5枚骰子分成三组，其中二组各有2枚殷子，另外一组只有一枚殷子，又考虑到各有2枚骰子的二组内是不用考虑顺序的，所以5枚骰子分成三组共有而这三组骰子出现的点数都不一样有

种可能，所以所求概率为

（4）这里“三枚一样”是指这三枚以外的2枚骰子不成对，所以先从5枚骰子中任取3枚组成一组，共有（53）种取法，然后这一组骰子与剩下的2枚骰子出现的点数不一样，所以

（5）先从5枚骰子中任取4枚组成一组，然后这一组骰子与剩下的一枚骰子各取不同的数，由此得

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个样本点，这是分母，以下分别求之.

（2）这里“一对”是指这一对以外的3枚骰子中不成对且不全相同，所以先从5枚骰子中任取

种取法，然后这“一对”骰子与剩下的3枚骰子出现的点数都不一样，所

种分法，

（6）五枚骰子出现的点数全部一样共有6种情况，所以

2． 设

证明： （1）（2）【答案】（1）由

是

的有效估计； 是知

的无偏估计，但不是有效估计.

为了获得

的元偏估计的C-R 下界，

是来自正态总体

的一个样本，若均值μ已知，

需要费希尔信息量，大家知道，正态分布的密度函数p （x ）的对数是

由此得的费希尔信息量

从而的无偏估计的C-R 下界为

是

的有效估计.

此下界与上述无偏估计的方

差相等，故此

（2）由于

可见，

即是的无偏估计，其方差为

为了获得的无偏估计的C-R 下界，需要知道的费希尔信息量，由于

从

而

的元偏估计的C-R 下界

为故

不是

由于无偏估

计

的方

差

的有效估计. 此处

，的无偏估计的C-R

下界与的方差的比为

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该比值常称为无偏估计的效.

3． 设随机变量X 的密度函数p （x ）关于c 点是对称的，且E （X ）存在，试证：

（1）这个对称中心c 既是均值又是中位数，即（2）如果c=0，则

因此

所以得

又由

所以

（2）当c=0时，

又由

由此得结论.

4． 设分布函数列

【答案】对任意的对取定的N , 存在因而存在

因此有

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【答案】（1）由p （x ）关于c 点对称可知：

由此得

弱收敛于分布函数且

和都是连续、严格单调函数,

又设

关于x 是一致的,

服从（0, 1）上的均匀分布, 试证:

对取定的M , 可选取正整数k 和N , 使有

使有时, 任对

, 有

使当

存在充分大的M , 使有

对取定的h , 因为