2017年江西农业大学园林与艺术学院701数学之概率论与数理统计考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、证明题
1． 设随机变量
（1）（2）
【答案】（1）设所以当即
时,
的密度函数为
即（2）因为以
由此得
所以（X , Y ）的联合密度函数为
这说明X 和Y 是相互独立的标准正态随机变量.
2． 设
是来自
的样本，α＞0已知，试证明，
是
于是
所以λ的费希尔信息量为
这就是说
的任一无偏估计的C-R 下界为
又
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与相互独立, 且都服从（0, 1）上的均匀分布, 试证明:
和
则
的密度函数为
则
所以
当
是相互独立的标准正态随机变量.
时,
, 所以
又因为
所
的有效估计，
从而也是UMVUE.
【答案】总体Ga （α, X ）的密度函数为
这就证明了
3． 设
【答案】一方面
另一方面
4． 设
也是一个分布函数.
【答案】为此要验证F （x ）具有分布函数的三个基本性质. （1）单调性. 因为于是
（2）有界性. 对任意的x ，有
且
（3）右连续性. 5． 设变量序列
为独立同分布的随机变量序列, 其方差有限, 且Xn 不恒为常数. 如果不服从大数定律.
则
由此得
倘若
服从大数定律, 则对任意的
有
于是, 当n 充分大时, 有
记
则
, 由此得
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是的有效估计，从而也是UMVUE. 证明：
都是分布函数，a 和b 是两个正常数，且a+b=l.证明：
都是分布函数，故当
时，有
, 试证:随机
【答案】
由的任意性,
不妨取
咱矛盾, 所以
6． 设
，试证
：
则当n 充分大时,
有不服从大数定律.
,
这与前面推出的
【答案】因为X 的密度函数为
又因为Y=In X 的可能取值范围为单调增函数，其反函数为
且
是区间
上的严格
所以Y 的密度函数为
这正是
7． 设
的密度函数. 是来自
的样本，考虑如下假设检验问题
确定.
，n 最小应取多少？
若检验由拒绝域为
（1）当n=20时求检验犯两类错误的概率； （2）如果要使得检验犯第二类错误的概率（3）证明：当
时，
【答案】（1）由定义知，犯第一类错误的概率为
这是因为在成立下，
而犯第二类错误的概率为
这是因为在成立下.
.
（2）若使犯第二类错误的概率满足
即
，或
，查表得：
由此给出
因而凡
最小应取34, 才能使检验犯第二类错误的概率
（3）在样本量为n 时，检验犯第一类错误的概率为
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