2018年湖南大学信息科学与工程学院813高等代数考研强化五套模拟题
● 摘要
一、分析计算题
1． 判断下列n 元二次型是否为正定的：
其中
【答案】①设A 是f 的矩阵. 则A 是一个主对角线上元素都是1, 其余元素都是的n 阶方阵. 任取A
的
阶顺序主子式
则是主对角线上元素都是1，
其佘元素都是的后阶行列式. 易知：
因此，f 是正定二次型. ②令
即
其中
易知又易知
故C 可逆.
故可知g 可通过实满秩线性变换得
由于右端不含
故可知n 元二次型g 的秩小于n ，从而g 不是正定的.
2． 求下列n 阶循环矩阵C 的特征值以及属于这些特征值的特征向量:
【答案】有
其中要证明
为此可对k 作归纳法, 设
显然成立.
时等式已成立, 对于k 时的情形, 只要证
就行了, 将上式左边进行如下详细标记和分块
这就完成了上面等式的证明. 现来计算
的特征多项式和特征值. 易计算A 的特征多项式为
专注考研专业课13年，提供海量考研优质文档！
其中令多项式
对于A 的特征值
下述齐次方程组
易知这方程组的系数矩阵的秩为征向量只有一个, 可取为
由于
为复数域）的一组基.
也是设与量为
3． 讨论
的特征向量,
属于特征值
相等的全部
其中
有
.
其中
取遍P 中的数.
则C 的属于
的全部特征向
互不相同,
基础解系中仅有一个解. 即A 的属于
.
是A 的n 个线性无关的特征向量, 也是（P
的线性无关的特
. 于是A 的特征值是
, 则
设属于它的特征向量是
于是
C
的特征值是
则它满足
取什么值时下列方程组有解，并求解:
【答案】（1）系数行列式为
当
时，方程组有惟一解，用克拉默法则解得