2018年湖南大学经济与贸易学院813高等代数考研强化五套模拟题
● 摘要
一、分析计算题
1． 设且
是复数域C 上的本原n 次单位根（即令
而当
时
），
都是正整数，而
任取判断线性方程组有无解，有多少解，写出理由.
【答案】A 是一个矩阵，其前s 列组成的子式
为一范德蒙行列式. 因有
所以
说明对
互不相同，从而
有无穷多解
这样立知
所以对方程组
2． 先求下列各矩阵在实数域上的初等因子, 再求其不变因子和标准形:
【答案】分别用.
表示以上两个矩阵
.
因此, 元素为
的不变因子为
的三阶矩阵即为
在实数域上的初等因子为
故
的不变因子为（秩为3）
因此, 主对角线上元素为
第 2 页，共 50 页
在实数域上的初等因子为
故主对角线上
的标准形
.
的四阶对角矩阵即为矗（A ）的标准形.
3． 求一个x 次方程使
【答案】 4． 设
是任意常数.
A ，B 为同阶正定矩阵.
且
为正定矩阵，证明：
故
是正定矩阵. 又由
正定且与
可换，
也是正定矩阵.
为正定矩阵，问：
是否一定是正定矩阵？
①若
②若
【答案】①因为
又因为A ，B 为正定矩阵，故由第28题知，故其乘积
②若
也是正定矩阵. 正定，则
不一定正定. 例如：
显然都是正定矩阵. 但易知：
显然 5． 设
就不是正定矩阵（因为
）.
A 是非零方阵，
则有正整数
故有
，即A 可逆，则如果秩
，
中不能全不为零，
，
矛盾.
. 考虑n 次方程组
，
【答案】由于如果秩这时由则
否则每个秩就有因而于是有
n ，与所设使
下面证明对任何1若于是依次取1=k, k+1, k+2 就得到现设和
第 3 页，共 50 页
（1）
（2）
显然（1）的解是（2）的解. 又再考虑齐次方程组
（3）
显然（2）的解是（3）的解. 对（3）的任一解即了证明.
6． 已知二次型（1）求的值； （2）求正交变换
（3）求方程
把的解.
的行列式为0,
1化成标准形；
是（2）的解，因此是（1）的解，于是
. 有
因而
是（2）的解，这证明了
. 完成
齐次方程组（2）与（3）是同解的，它们的系数矩阵必有相同的秩，即秩
，（1）（2）的基础系中有相同数目的解，
于是（1）的基础解系也是（2）的基础解系，于是（1）与（2）同解.
的秩为2.
【答案】 （1）由于二次型f 的秩为2, 则对应的矩阵即有
（2）当
时，
可知A 的特征值为A
属于A
属于且易见
所以
（二重）的线性无关的特征向量为的线性无关的特征向量为
两两正交. 将
单位化得
取令从而
得.
则为正交矩阵.
. 下
，
化成
解之得
的解为
为任意常数.
（3）解法1:在正交变换.
解法2:由于所以
第 4 页，共 50 页
相关内容
相关标签