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一、分析计算题

1． 设K[X]为数域K 上多项式空间,

与均为代数数, 又

证明:与都是【答案】显然因此, 同理,

不可约且

同理,

由此易知

2． 设V 是n 维欧几里得空间, 为其内积,

（1）对于短个给定的（2）映射f :【答案】（1）

所以是V 上的线性函数, 即

（2）

因为

所以故

类似可得若

则

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的子空间且又若

, 则

于是

故作成子空间.

也作成子空间.

又因为为代数数,

故存在有理系数多项式使

因此,

设

使

.

从而在K 上

是中次数最低的非零多项式, 则易知

是空间与的一个同构映射, 因此

为其对偶空间. 证明:

是

因为

中的一个元素. 的同构映射.

映射

是rt 维线性空间V 到

有

于是的同构映射。

3． 讨论

故

f 是单射. 注意到V 和

都是R 上的

n 维线性空间

, 则f 是双射, 故f 是V 到

取何值时，线性方程组

无解，有唯一解或有无穷多解，并求无穷多解时的通解. 【答案】

（1）当（2）当（3）

时，

时，时，

故方程组有唯一解. 故方程组无解•

方程组有无穷多解，

一般解为

其中x 3,

x 4

为自由未知量.

取特解为导出组的基础解系为故通解为 4． 用

除

求商

与余式

【答案】

用分离系数的竖式进行计算

为任意数.

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所以

5． 用初等对称多项式表示

【答案】解法1:

的首项为

，它对应指数组

因对称多项式

所以

解法2:根据

式方幂之积，列表如下：

表

设取 6． 设

是n 维欧几里得空间V 的s 个单位正交向量组,

（1）证明

w 是V 的欧几里得空间的子空间

. （2）求W 的基和维数. （3）求w 的正交补.

【答案】（1）显然W 是V 的非空子集,

有

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I , 令

的首项写出所有不先于首项的3次指数组对应的初等对称多项

'

，得

，即

，所以

注意到