2018年湖南大学机械与运载工程学院813高等代数考研强化五套模拟题
● 摘要
一、分析计算题
1． 由行列式定义证明:
【答案】由定义，行列式中一般项为
其中所以当此至少有一个
2． 计算行列式
是一个5级排列. 因为在这个行列式中
中有一个等于3或4或5时，此项为0. 但是
而且各不相同，因
大于或等于3, 由此可知每项都为0，因而行列式0.
【答案】将第i 列乘以加到第一列，得
3． 用除
的余式
的余式依次为试求用
除
【答案】设
由题设，结合余式定理可得
结合余式定理可得
由拉格朗日插值公式可得
4． （1）设A 为一个n 级实矩阵, 且一上三角矩阵:
证明A 可以分解成
其中Q 是正交矩阵, T 是
且并证明这个分解是惟一的；
设为
（2）设A 是n 级正定矩阵, 证明存在一上三角形矩阵T , 使【答案】（1）设A 的n 个列为
将
作施密特正交化, 单位化, 得到一组正交单位向量
并可取令
则Q 为正交矩阵, T 为上三角矩阵, 其对角线上元素都大于0. 前面的（*）可
写成
其中
故有分解
仍为上三角阵, 它的对角线元素为
仍为正数.
如果A 用两种方法表成
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其中
都是正交矩阵, 是正交矩阵,
对角线上元素全等于1. 所以
表法是惟一的.
（2）因为
A 是正定矩阵, 故有可逆矩阵P 使
应用（1）将P 表成
其中Q 为正交矩阵, T 是上三角矩阵, 于是
5． 设W 是
的实系数多项式全体所组成的线性空间, 求
都是对角线上元素都大于0的上三角矩阵
. 于是
是上三角矩阵, 且对角线上元素全大于0.
由上题
从而
即
为对角矩阵, 且
【答案】设A 的最小多项式次数为
k ,
则
的次数为k 矛盾）. 当则有故‟
6． 设
. 时, 令
即
可由
线性表出.
又
线性表出.
线性无关（否则, 与A
的最小多项式或时,
显然可由
线性
表出,
从而A
的任一多项式可由
计算【答案】