当前位置：问答库＞考研试题

一、分析计算题

1． 设交基, 其中:

【答案】先证则得再对

正交化, 得

再单位化, 即得w 的一标准正交基:

2． 设V 是对于非退化对称双线性函数

的n 维准欧氏空间.V 的一组基

则称为V 的一组正交基. 如果V 上的线性变换满足

则称

为V 的一个准正交变换. 试证:

（1）准正交变换是可逆的, 且逆变换也是准正交变换； （2）准正交变换的乘积仍是准正交变换； （3）准正交变换

的特征向量

若满足

则其特征值等于1或-1;

（4）准正交变换在正交基下的矩阵T 满足

如果满足

线性无关:设若

故

是5维欧氏空间V 的一个标准正交基, 求子空间

从而

线性无关. 的一个标准正

【答案】由于实对称矩阵在实合同变换下可化成标准形:它是对角矩阵, 且对角线上元素是

现在 f 是非退化的, 故它在某基下的度量矩阵有形状

这时的基就满足

即它是一组正交基. 这证明了正交基是存在的. （1）设

是准正交变换, 则当

设故设故（2）设

的逆变换为

即

它也是线性变换. 又有

也是准正交变换.

皆为准正交变换, 我们知道,

是线性变换, 又有

故

是准正交变换.

为基,

在基

取V 上线性变換

它在基上的变化如下:

为任意实数.

则易验证

即答:设

是准正交变换. 但这时

若有

为准正交变换, 且设

的特征值为

k , 而k 为任意实数, 这小题的题目现在修改为 则其所属的特征值必为1或-1. ”

及

则

线性无关, 因而也是V 的一组基. 线性变换

把V 的一组基变成一组基, 因此是可逆变换.

（3）设V 是二维实空间, 下的度量矩阵是

“准正交变换的特征向量

则

专注考研专业课13年，提供海量考研优质文档！

但还有或-1. （4）设

是V 的正交基, 即f

在该基下的度量矩阵为

故

又因

所以

即

又设准正交变换在该基下的矩阵为T , 即

于是f 在基下的度量矩阵为

又是准正交变换, 它在下的度量矩阵也是

故这两个矩阵相等, 即