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一、证明题

1． 设于

【答案】显然, 由题设知即

所以对一切n 都有

的一个下界

.

即在. 设

即对

又由

两边取极限得

所以

递增. 由

在

知,

是

的一个上界. 由单调有界定理知, 的两边同时取极限, 得到

得

有

. 证明f 为常量函数.

, 所以

因为f 在x=1连续, 所以当

时,

而当

时,

, 又

故f 为常量函数.

3． 证明:函数

有无穷多个极大值, 但无极小值. 【答案】

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记

于是, 当

证明:数列

时,

的极限都存在且等

递减, 并且0是

的极限都存

.

2． 设定义在R 上的函数f 在0、1两点连续, 且对任何

【答案】由

知f （x ）是偶函数. 因为

令. 解方程组可得无穷多个驻点

此时

处取得极大值, 极大值为

, 此时

.

当n 为偶数时, 驻点为故f （x , y）在驻点当n 为奇数时, 驻点为f （x , y）在

4． 设

是无界数列, 又因为

界数列.

5． 证明:

（1）（2）

【答案】（1）由

的递减性, 有

处无极值. 综上知, f （x , y ）有无穷多个极大值, 但无极小值.

是无穷大数列. 证明:

必为无界数列.

存在自然数N ,

当因此

即

时,

有是无

有

【答案】

因为是无穷大数列,

所以对任意大正数是无界数列, 所以总存在

即

从而有

依次相加得

由左边不等式, 得

由右边不等式, 得

综合两式有

（2）由（1）有

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而

, 于是由迫敛性定理有

6． 证明下列各题:

（1）（2）（3）

在

上一致收敛；

在[a, b]（a ＞o

）上一致收敛；

（i ）在[a, b] （a ＞o ）上一致收敛； （ii ）在[0,

b]上不一致收敛；

（4）（5）

在

上一致收敛；

, 而

而且对任何M ＞

0, 令

收敛, 所以

收敛, 所以

收敛, 所以,

在（﹣∞, b] （b ＜l ）上一致收敛.

在

上一致收敛.

（2）因为（3） （i ）（ii ）取

在[a, b] （a ＞0）上一致收敛

. 在[a, b] （a ＞o ）上一致收敛.

所以（4）而且（5） 7． 证明:

在

上无界, 而在任一闭区间

上有界.

【答案】①对任意正数M , 以1和则②由令

且

可知,

在则对一切

. 故

为两直角边作一直角三角形. 设其较大的锐角为, 为

上的无界函数.

时,

故

在

上有界.

又

收敛, 所以

在

收敛, 所以

在

在[0, b]上不一致收敛.

上一致收敛.

上—致收敛.

【答案】（1）因为

严格递增, 从而当

都有

二、解答题

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