2018年广西大学数学与信息科学学院624数学分析考研核心题库
● 摘要
一、证明题
1． 证明:函数
在点（0, 0）连续且偏导数存在, 但在此点不可微. 【答案】因为
从而
所以, f （x , y）在点（0, 0）连续. 由偏导数定义知
同理但当
2． 设
点集存在
又且
其中
时, 其值为0. 所以, 与
所以, f （x , y）在点（0, 0）的偏导数存在.
考察
由于当
时,
其值为
不存在, 故f （x , y ）在点（0, 0）不可微.
在xy 平面中的点集E 上一致连续；与把点集E 映射为平面中的
在E 上一致连续.
,
就有
存在
, 因此
使当
为D 上任意两个点. 由于在D 上一致连续, 从而对任给的只要
在D 上一致连续, 证明:复合函数
【答案】设点
, 使对一切
在E 上一致连续, 因此, 对上述的时, 有
故复合函数
3． 设f 为
（1）
（2）
在E 上一致连续.
上的连续函数, 证明: 在在
上收敛；
上一致收敛的充要条件是f （1）=0.
【答案】 （1）因f
在所以
上连续, 故f 在即
在
上有界, 设上收敛, 且收敛于
（2）必要性 由
可得其极限函数g （x ）在充分性
可考虑将因为f
（l ）=0, 故当当
时,
在
分成两部分讨论.
上连续及在
上一致收敛,
上连续,
从而.
又因f （x ）在x=l处连续, 故对任意
存在
时, 有
故对上述的存在N , 当n>N时, 对一切总有在且
所以,
上一致收敛.
, 使得
则
当n>N时, 任意的有故 4． 设f 为内的递增函数. 证明:若存在数列有
【答案】
先证由
从而此时有设时
, 于是
f （x ）在
, 则.
取
, 由在知
, 对于
.
得
内有界. , 存在使得当
时,
,
. 由极限保号性知, 存在N 2使得当则当
时, , 存在
, 使得
由
f （x
）的递增性知,
此时有
内有上界.
由确界原理知, f （x
）有上确界. 令
, 于是, 当
故
时,
, 则对任给的
. 由归结原则得于是B=A
, 即
二、解答题
5
．
设
【答案】如果存在某证明如下:由
. 在何种条件下能由此推出, 使得在知, 对任给的
内, . 存在
使得当
?
, 则由题设条件能推出
时,
.
又由, 对上面的, 存在, 使得当时,
有
即
由于所
以当时, 从而
6． 讨论下列函数列在所给区间上的一致收敛性:
【答案】（1）方法一 易知当由于即
时,
, 所以当n>e时有
在（0, 1）内单调递减且
于是
故方法二
因为时有
在（0, 1）内一致收敛.
的极限函数f （x ）=0, ,
则
. , 因此对一切0 , 当 , 于是 故 在（0, 1）内一致收敛. 时, 而 所以（3）令 由于 所以 从而 , 时恒有 , . 取 , 则当n>N （2）易知当 在[0, 1]上不一致收敛.