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一、证明题

1． 设正项级数

【答案】令

收敛，证明：级数

则

对上式两边取极限得

2． 证明在

【答案】设

上,

, 则

所以所以当

在时, 有

上严格单调递增.

. 即

设所以于是当

在时, 有,

因为

上严格单调递增.

, 即

故对

, 成立

所以级数

收敛到

仍收敛，其中

3． 设函数u （x , y ）在由封闭的光滑曲线L 所围的区域D 上具有二阶连续偏导数, 证明

其中

为u （x , y ）沿L 外法线方向n 的导数.

所以

由题意知,

在D 上具有连续导数, 故由格林公式知

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【答案】由于

因此

二、解答题

4

．

求下列函数的傅里叶级数展开式:

（

1）（2）

为周期的连续奇函数

,

故

由收敛定理

（2）f （x ）是以

为周期的连续偶函数, 故

由收敛定理

5． 设

【答案】由’

, 其中z=f（x , y ）由方程

所确定的隐函数求

故

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【答案】（1）f （

x

）是以

及

所确定的隐函数z=f（x , y ）得.

6． 求极限:

【答案】（1）因为x , 连续点. 于是

（2）该函数在x=1处为右连续, 于是

7．

试问下面的解题方法是否正确:

求

.

及

由于

两边取极限

得

所以

这个解题

就不存在, 不能设

【答案】设

都是R 上的连续函数, 所以当

时, x 是

的

方法是错误的. 因为

8． 讨论狄利克雷函数

的有界性、单调性与周期性

. 【答案】①对于任意的②

而

③对于任意的正有理数r 有

因此, 对任意

有

所以, 任意正有理数都是

的周期, 即

是R 上的周期函数.

总有

故可见,

在R 上有界. 在R 上不具有单调性.

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