2018年广州大学数学与信息科学学院924数学(数学分析、线性代数)[专业硕士]之数学分析考研核心题库
● 摘要
一、证明题
1． 设
射; （2）证明:f 在
【答案】（1）因为
所以
由于（2）对于即
且
故一一映射, 由
有
根据定理有
2． 设f （x , y ）及其一阶偏导数在（0, 1）附近存在、连续, 且证明:
在点
附近可确定一单值函数
, 并求
.
附近满足隐函数存在定理的条件.
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, （1）证明:当时, <
.
, 但在R 上, f 不是一一映
2
上是一一映射, 并求
, 故在R 上f 不是一一映射.
当且仅当
2
, 当且仅当, 且, 因此f 在D 上是
, 又f （0, 1） =0,
.
【答案】令
下面验证F （x , t）在
由的连续件可知,
由而连续可微函数
且
, 满足
和在,
附近由方程
附近连续.
知, 初始条件满足.
及f 的一阶偏导数在（0, 1）附近
于是, 由隐函数存在定理,
在
=0可以确定唯一的
3． 设
为开集,
, 存在
. , 当
在, 当
可微, 试证明:
时, 有
时, 有
（1）任给（2）存在
（这称为在可微点邻域内满足局部利普希茨条件） 【答案】（1）因为, 在其中
即
处可微, 依定义
, 当
时, 有
使
故当
（2）在（1）中取其中
. , 则
时, 有
二、解答题
4． 验证下列线积分与路径无关, 并计算其值:
（1）（2）
【答案】（1）因
所以所给路曲线积分与路径无关, 从而
（2）因
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, 其中
在球面
上.
所以所给曲线积分与路径无关, 且
由于
5． 若f （x , y ）为有界闭区域D 上的非负连续函数, 且在D 上不恒为零, 则
【答案】由题设存在使得对一切又
6． 确定正数
使曲面
【答案】设两曲面在点
与椭球面
相切, 则曲面
在某一点相切（即在该点有公共切平面）.
在点
的切平面
应为一个平面, 所以
即
又从而
故所求的正数
7． 己知
【答案】首先证明
令
代入①的左端得
故①成立.
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和在球面上, 所以原式=0.
,
, . , 有
令
.
, 由连续函数的局部保号性知:
故
且连续, 所以
与椭球面在点的切平面
, 所以
试讨论函数f （x , y ）在原点（0, 0）处是否连续？
①