2018年广东工业大学应用数学学院602数学分析考研核心题库
● 摘要
一、解答题
1． 设二元函数f 在区域D=[a, b] ×[c, d]上连续.
（1）若在int D内有（2）若在intD 内有
试问f 在D 上有何特性？
f 又怎样？
则
（3）在（1）的讨论中, 关于f 在D 上的连续性假设可否省略？长方形区域可否改为任意区域？ 【答案】（1）二元函数f 在D= [a, b] × [c, d]上连续, 若在int D内有这是因为对int D内任意两点
即
由
由中值定理知:存在的任意性, 知则f （x , y）=常数.
由中值定理知:存在
使得
因为
所以
由
上二元函数
在int D
内
可是f 不连续,
二元函数
在D 上连续, 且
但f （1, ﹣1）=1, f （﹣1, 1）=0, 即f 与x 又有关, 结论不成立.
2． [1]求下列函数的傅里叶级数展开式:
（1）（2）（3）（4）（5）[2] .求函数
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使得
（2）若在int D内有事实上, 对int D内任意两点
的任意性, 知f （x , y ）=常数.
（3）在（1）的讨论中, 关于f 在D 上的连续性假设不能省略. 否则结论不一定成立. 例如, 在矩形区域
显然f 与x 有关, 结论不成立.
在（1）的讨论中, 长方形区域不能改为任意区域, 否则结论不一定成立. 例如设
的傅里叶级数展开式
,
并应用它推出（x
）可展开为傅里叶级数,
所以在区间
内
, 有
（2
）在
上
所以
所以在区间
内
在
或
时, 上式右端收敛于
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内按段光滑, 故由收敛定理
, f
【答案】 [1]（1）将f （
x ）进行周期延拓, 又因f （x
）在
所以在闭区间
上
（
3）（
i
）
所以,
在
内
（
ii ）
所以, 在
内
⑷
故
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