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一、证明下列各题

1． 将函数

【答案】由

逐项积分上式得

因为

及根据定理

可知级数

2． 证明

：

【答案】

因为

在[一1，1]上一致收敛.

对任意的

因为存在.

3． 设

(1) (2) (1) 设(2) 设

右边

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在点展开为幂级数，并证明此幂级数在[0，1]上一致收敛.

在[0，1]上连续。

再根据以上定理知幂级数在[0，1]上一致收敛.

是

上的连续函数，且而

存在.

收敛，

故由魏尔斯特拉斯判别法可知

连续，所以

’在[-1，一 1]上连续，

此

证明：

左边. 左边.

则 右边

则

【答案】可以看出交换a , b 的位置，这两个等式两边的值都不变. 不妨假设

4． 证明下列结论：

(1) 设f (u , v ) 具有二阶连续偏导数，且满足方程

(2) 设z=f(x ，y ) 是二阶连续可微函数，又有关系式

【答案】(1) 令

则z=f(U , V ) ，于是

故

(2) 由

知

于是

故

5．

(1)

求证：

(2)

使得

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则

也满足方程

是不为零的常数，

则

【答案】(1) 利用拉格朗日中值定理，存在

(2) 设. 所以

故有

6． 证明下列各题：

(1) (2) (3) (i ) 在(4) (5)

(1) 因为【答案】一致收敛.

(2) 因为(3) (ii ) 取

对任何

令

收敛，所以__所以

所以

(4) 而且(5)

收敛，所以

收敛，所以

在

上不一致收敛.

上一致收敛.

上一致收敛. 在

上一致收敛. 上一致收敛.

上一致收敛；

在

上不一致收敛；

上一致收敛； 上一致收敛。

收敛，所以

上

上一致收敛； 上一致收敛；

结论得证.

则有

...

二、求解下列各题

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