2017年华东师范大学理工学院数学系626数学分析之数学分析考研题库
● 摘要
一、证明下列各题
1． 设
和
为正项级数，且存在正数
对一切
证明：若级数【答案】由题意
收敛，则级数
时，
也收敛；若
从而
又因为改变有限项不改变的敛散性，所以由比较原则，若级数若发散，则也发散.
2． 证明下列结论：
(1) 函数(2) 符号函数【答案】(1) 假设
不存在原函数；
不存在原函数. 则
于是
当
即
时
有
当
时
有
由
于
连续，所
以
收敛，则级数
也收敛；
发散，则
也发散 有
从而
这与(2) 假设
矛盾.
由拉格朗日定理得
这说明
3．
设
在点不可导，与相矛盾.
假设
且
是闭区间[a, b]上的连续可导函数.
记
证明
：
是有限集.
无限，则
【答案】用反证法：若但介于
4． 设
【答案】因
证明而在某个与x 之间，这与
内亦有
于是当n 充分大时，
中值定理矛盾. 所以
单调递増趋于无穷，故利用Stolz 公式
是有限集.
5． 利用级数收敛的必要条件，证明下列等式：
(1
)
【答案】(1) 设
(2)
考察正项级数
的收敛性，因为
所
从而级数
收敛. 由级数收敛的必要条件知
(2)
设
考察正项级数
的收敛性，因为
»
所以
6． 设f (z ) 是在
⑴数
【答案】
从而级数收敛. 由级数收敛的必要条件知
内的可微函数，且满足：
⑵
其中
任取
定义
证明：级
绝对收敛.
即这里
由比值判别法知
绝对收敛.
二、求解下列各题
7． 求不定积分
【答案】令
则
8． 在下列积分中引入新变量u ，v 后，试将它化为累次积分：
【答案】(1) 由
D 与
如图1, 图
2
图
1
图 2
于是
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