2017年华东师范大学理工学院数学系626数学分析之数学分析考研冲刺密押题
● 摘要
一、证明下列各题
1．
【答案】根据题意，
则
易知显然由(1) 若若c=0，则
当b —c=0时，取(2) 若
当
在
当
理，存在使
得得
. 证.
2． 求证
：
在
上一致收敛. 可得
使得
使得
再
由
综上所述，存在.
使得
时，
必有时
，
必有
又
在某在某
又
又
(或者用保号性及介值定理，存
处达到最大值，
处达到最小值，利用推广的罗尔定理，存在
利用推广的罗尔定理，存
在
使得
使结论得
；
(或者用保号性及介值定
. 则
, 若
则
则由推广的罗尔定理知，
存在
使得
满
足
证明存在非负单调数
列
使
得
当c=0时，
由于
这样继续下去，
得到存在非负的单调增数列
【答案】方法一：由
又收敛，由M 判别法即得原级数在
先求函数
上一致收敛.
为奇函数，只需讨论
的
方法二：记情形
.
的最大值，由于
又
故
是函数
的最大值点. 因此
3． 证明：设f 为幂级数项，若f 为偶函数，则
【答案】由当
为奇函数时，
又
故此时有
当
为偶函数时，
又
故此时有
4． 设f 为定义在D 上的有界函数，证明：
⑴(2)
【答案】(1)
设
使得
(2) 同理可证.
5． 证明：
若
【答案】补充定义
在
的值如下：
使得
则
在闭区间
上满足罗尔中值定理的条件，于是存在一点
在有限开区间
内可导，
且
则至少存在一点
使
即
. 则对一切
有
所以
即
对任意
存在
在
上的和函数，若f 为奇函数，则级数
仅出现奇次幂的
仅出现偶次幂的项.
6． 设证明
【答案】方法一令 变换的雅可比行列式为
所以
方法二因
对内层积分作定积分变换
则
二、求解下列各题
7． 设
【答案】当所以
又根据定义得
所以
时，
求