2017年华中师范大学数学与统计学学院717数学分析考研题库
● 摘要
一、证明题
1． 设
【答案】设
并且对于任何
则有
对上式两边同时求导，得
即
于是对两边取转置又得
有
常数，证明
2． 应用凸函数概念证明如下不等式：
(1) 对任意实数a ，b , 有(2) 对任何非负实数a ，b ，
有【答案】有
上的凹函数. 故由定义可知，对任意非负实数即
3． 通过对
【答案】在
则
即.
4． 用确界原理证明有限覆盖定理.
【答案】
对闭区间
所以存在一个开区间
间覆盖，从而
若
，
则
即
由
覆
盖则
的任一开覆盖
使得
构造数集如上，
显然有上界.
因为
覆盖闭区间
取
使
得
取加进去可知
使
得
知，存
在
则
能被中有限个开区
施用中值定理，证明对某
有
中，令
有
因，
恒成立，故
是
上的凸函数，令定义中的当
时
.
从而
则
是
非空. 由确界原理知，存在
能被中有限个开区间覆盖，
把
这与
矛盾. 故
即
可被H 中的有限个开区间覆盖.
用类似的方法可以证明
二、解答题
5． 举出定义在
（1）只在（2）只在（3）只在【答案】
6． 计算
【答案】令
则
所以
7． 讨论积分
的敛散性. 【答案】先讨论令
即
则
当
时，
单调递减趋向于零. 又
有
的敛散性.
其中
上分别符合下述要求的函数： 三点不连续的函数 三点连续的函数；
上间断的函数；
（4）只在x=0右连续，而在其他点都不连续的函数.
所以由
法知，当
时，收敛；
有
由柯西准则知，发散. 再由
的单调有界性，根据
法知，与具有相同的敛散性.
8． 试写出单位正方体为积分区域时，柱面坐标系和球面坐标系下的三重积分的上下限.
【答案】在柱面坐标系下，用示为
的平面截立方体，截口是正方形，因此，单位立方体可表
在球面坐标系下，用
的平面截立方体，截口是长方形，因此单位立方体可表示为
其中
9． 将函数
【答案】
展开成x 的幂级数.
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