2017年华南理工大学数学学院625数学分析之数学分析考研冲刺密押题
● 摘要
一、证明题
1． 求
【答案】
由
上收敛.
又由
上一致收敛.
由可微性定理，有
即
解此常微分方程可得
2． 已知
【答案】
3． 设f ，g 在点连续，证明：
(1) 若(2) 若在某
则存在内有
使在其内有则
及
的收敛性知
，
在
及的收敛性知，
积分
在
试证
【答案】(1) 令
切
.
(2) 因为f ，g
在点不等式性可得
4． 设函数
于是，当
则
时
由f ，g 在点
在
内
连续可知，F (x ) 在
使得对一和极限保
也连续. 根据连续函数的局部保号性，对任何正
数
连续，所以
存在
某
在上连续，在. 内可导，且满足
证明:至少存在一点
【答案】令
中值定
理知，
使得
使则
在
上连续，在
内可导. 由题设，利用积分
因此，由罗尔定理可知，
故有
使得
由于
二、解答题
5． 求下列函数带佩亚诺型余项的麦克劳林公式：
到含的项；
到含的项.
【答案】
因此
带佩亚诺型余项的麦克劳林公式为
故
于是
故有
于是
6． 求下列函数的高阶导数：
【答案】
由莱布尼茨公式有
7． 求下列不定积分：