2017年华东师范大学金融与统计学院626数学分析之数学分析考研冲刺密押题
● 摘要
一、证明下列各题
1． 用有限覆盖定理证明连续函数的一致连续性定理。
【答案】一致连续性定理：若函数f 在闭区间上连续，所以任绐.
取
. 任意
存在则H 是
上连续，则在
有
不妨设
因此
由一致连续定义，
在
上一致连续。
2． 用有限覆盖定理证明根的存在性定理。
【答案】根的存在定理：若函数f 在闭区间点
使得
假设方程
性知，对每一点符号. 于是，所有的来覆盖右端点盖
.
与
在形成
内无实根，
则对每一点
使得
在
有
由连续函数的局部保号内保持与
相同的它的
的一个开覆
存在x 的一个邻域
上连续，且
与
异号，则至少存在一
即
当
上一致连续. 因为在
对任意
的无限开覆盖. 由有限覆盖定理，从中可以选出有限个
开区间来覆盖不妨设选出的这有限个开区间为
取
时，由于
对任意
的一个开覆盖. 根据有限覆盖定理，从中可以选出有限个开区间
以此类推，经过有限次地向右移
这n
个开区间显然就是
与与
的符号. 以此类推，
使得
第 2 页，共 27 页
把这些开区间的集合记为S , 则点a 属于S 的某个开区间，设为又属于S 的另一个开区间，设为
使得
在
内也具有
在每一个所以
内保持同一个符号.
在
内
动，
得到开区间
具有相同的符号.
因为
具有相同的符号. 这与
异号矛盾. 故至少存在一点
3． 设
是定义在
上的连续的偶函数，则上的连续的偶函数知
从而
所以原命题成立.
4． 证明
：
【答案】
因为
在[一1，1]上一致收敛.
对任意的
因为存在.
5． 按定义证明下列极限：
(1) (4)
(2)
由
得
取
则当\>厘时，有
故
(2)
第 3 页，共 27 页
从而令
有
【答案】由f (x ) 是定义在
是上的连续函数，且而
存在.
收敛，
故由魏尔斯特拉斯判别法可知
连续，所以
’在[-1，一 1]上连续，
此
(3)
【答案】(1) 对任意给定的
限制则
只要取
则当
时，有
于是，对任意给定的故(3)
对任意给定的
取
，由
得
则当|x|>M时有
它成立的一个充分条件是
故(4)
若限制0<2—x 对任给的 故 6． 证明： 【答案】 于是，对于 存在M>0, 使得当 时，有时. . 在[-M, M]上，由连续函数于是，对于一切 故 为有界函数. 取 ' 为有界函数. 则当 时，有 的有界性定理知，存在S>0，使得当 二、求解下列各题 7． 在指定区间内把下列函数展开成傅里叶级数： 【答案】(1) (i ) 及其周期延拓的图像如图1所示， 图 1 第 4 页，共 27 页