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一、证明题

1． 设总体X 的密度函数为：

为抽自此总体的简单随机样本.

（1）证明：【答案】（1）令

即

的分布与无关，并求出此分布.

的置信区间.

则

的分布与无关，其密度函数为

由于从而求得

在

上单调递减，为使得区间长度最短，故应取c=0, 所以，的置信水平为

的置信区间为

（2）取c , d 使得

的密度函数为

（2）求的置信水平为

2． 对任意的事件A ，B ，C ，证明：

（1）（2）【答案】⑴

（2）因为

所以

3． 设

相互独立, 服从

证明:

【答案】令

, 则

再令

, 则

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令

相互独立, 且

服从

所以变换的雅可比行列式为:

计算该行列式, 可得

因为,

把雅可比行列式代入上式可得

由此可知

相互独立, 且

服从

证明：

【答案】

5． 设

的一个样本.

在显著性水平为时给出其拒绝域；

（2）证明（1）中的拒绝域也是如下检验问题

的显著性水平为的显著性检验的拒绝域；

（3）在样本量n 较大时，利用中心极限定理给出近似的拒绝域. 【答案】（1）泊松分布

的充分统计量是，它是的无偏估计. 若原假设

成立，

则不应该很大，因此，当较大时，就应该拒绝原假设

所以此检验的拒绝域应有如下形式

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4． 若事件A 与B 互不相容，且

是来自泊松分布

（1）利用泊松分布的充分统计量对如下检验问题

其中c 应由给定的显著性水平确定，即c 由下列概率不等式确定

或

由于原假设成立下

则由

可得

不是一件易事.

（2）若将上述拒绝域作为（2）检验问题的拒绝域，我们只需要证明该检验的势函数是单调增的即可说明它也是（2）的显著性水平为a 的显著性检验. 此处该检验的势函数为

其中m 为如下整数

考察

的单调性，为此求其导数

所以势函数

大.

（3）当样本量n 较大时，由中心极限定理可得原假设成立时

对给定的显著性水平有

即拒绝域W 中的临界

值

即当n=10时，若

则应拒绝原假设

6． 设0

【答案】先证必要性：因为A 与B 独立，所以再证充分性：由

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故

若令泊松分布

的

分位数为这里

的寻求还

所以在给定理时，该检验的拒绝域为

是的严格増函数. 由此可知，

在原假设

上

在处达到最

的渐近分布

譬如

，，n=10

和时，

有

独立，由此得

即