2017年南开大学统计研究院432统计学[专业硕士]考研题库
● 摘要
一、证明题
1． 设随机变量
【答案】若随机变量而
这就证明了
2． 设随机变量X 服从（1, 2）上的均匀分布, 在X=x的条件下, 随机变量Y 的条件分布是参数为x 的指数分布, 证明:XY 服从参数为1的指数分布.
【答案】因为令
则
的逆变换为
, 所以
此变换的雅可比行列式为
所以（U , V ）的联合密度函数为
由此得U=XY的边际密度函数为
这表明:U=XY服从参数为1的指数分布.
3． 如果
【答案】记因为令而
由M 的定义即可知
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证明
则
也服从
从而
, 试证:
与X 的分布函数分别为
, 故存在, 因为
, 使当, 故存在
和时, 有
使当
, 时, 有
. 对任给的
取足够大的
和
使
是F （x ）的连续点, 且
, 所以有而对于
当_时, 有
因而
, 由的任意性知
结论得证.
4． 设
是取自某总体的容量为3的样本，试证下列统计量都是该总体均值的无偏估计，
在方差存在时指出哪一个估计的有效性最差？
（1）（2）（3）
【答案】先求三个统计量的数学期望，
这说明它们都是总体均值的无偏估计，下面求它们的方差，不妨设总体的方差为
不难看出
由此可推测。当用样本的凸组合 5． 若
为从分布族
为充分统计量.
【答案】样本X 的联合密度函数为
由因子分解定理知,
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则
从而的有效性最差.
估计总体均值时，样本均值是最有效的。
中抽取的简单样本,
试证
为充分统计量.
6． 设A ，B ，C 三事件相互独立，试证A-B 与C 独立.
【答案】因为
所以A-B 与C 独立.
7． 设
为来自如下幂级数分布的样本，总体分布密度为
（1）证明：若c 已知，则的共轭先验分布为帕雷托分布； （2）若已知，则c 的共轭先验分布为伽玛分布. 【答案】（1）当c 已知时，不妨设服从帕雷托分布，即都已知，常记为
则在给出样本
后的后验分布密度函数为
其中
和
其中验分布.
（2
）当已知时，不妨设c
服从伽玛分布
都已知. 则给出样本
即
其中
后c 的后验分布密度函数
因此，
所以当c 已知时帕雷托分布为的共扼先
这说明
8． 设随机变量序列证:
【答案】这时
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证明完成.
独立同分布, 数学期望、方差均存在, 且
试
由辛钦大数定律知结论成立.
仍为独立同分布, 且