2017年青岛大学经济学院852概率论及数理统计(2)考研冲刺密押题
● 摘要
一、证明题
1． 设连续随机变量x 的密度函数p （x ）是一个偶函数，F （x ）为X 的分布函数，求证对任意实数a>0，有
（1）（2）（3）且从（1）在
则
所以
（2）
（3）
2． 若P （A ）>0，P （B ）>0，如果A ，B 相互独立，试证：A ，B 相容.
【答案】因为P （AB ）=P（A ）P （B ）>0，所以
3． 设总体μ，则
即
的UMVUE. 【答案】大家知道：
分别是
的无偏估计，设
是0的任一无偏估计，
为样本，证明，
分别为
即A ，B 相容.
，
【答案】因为p （X ）是一个偶函数，所以P （-x ）=P（x ）
将（*）式两端对H 求导，并注意到
有
这说明为证明
即
于是
从而
的UMVUE.
的UMVUE ，我们将（**）式的两端再对求导，得
由此可以得到的项，有
下一步，将（*）式两端对求导，略去几个前面已经指出积分为0
这表明这就证明了
4． 设随机变量
由此可得到的UMVUE.
相互独立, 且
试证:
【答案】而事件
从而该事件的概率为
5． 试证随机变量X 的偏度系数与峰度系数对位移和改变比例尺是不变的，
即对任意的实数
与X 有相同的偏度系数与峰度系数.
【答案】因为j
所以
即Y 与X 有相同的偏度系数. 又因为
因而
的联合密度为
所以Y 与X 有相同的峰度系数.
6． 设总体为如下离散型分布
表
是来自该总体的样本.
（1）证明次序统计量（（2）以必有
于是, 对任一组并
满足
中有个
有
表示
【答案】（1）给定（
）是充分统计量；
中等于的个数, 证明（
）的取值
设
）是充分统计量.
中有个
可以为0, 但
该条件分布不依赖于未知参数, 因而次序统计量（（2）因为给出（这只要通过令即可实现（这里默认因此,
7． 设
是充分统计量. 服从多项分布
其概率函数为：
其中即
其中
，i=l, ……k ,
记
）是充分统计量.
也可构造出（
,
, ）
1与
,
是一一对应的,
）就可算得（
）,
, 反之, 给出）
,
为参数，若的先验分布为Dirichlet 分布，
并把这一分布记作. 证明：的后验
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