2017年青岛大学经济学院432统计学[专业硕士]考研冲刺密押题
● 摘要
一、证明题
1． 设总体X 的密度函数为：
为抽自此总体的简单随机样本.
（1）证明：【答案】（1）令
即
的分布与无关，并求出此分布.
的置信区间.
则
的分布与无关，其密度函数为
由于从而求得
在
上单调递减，为使得区间长度最短，故应取c=0, 所以，的置信水平为
的置信区间为
试证
【答案】设
是取自总体分布函数为
的样本, 则经验分布函数为
若令于是
又
可写为
, 故有
则
是独立同分布的随机变量, 且
（2）取c , d 使得
的密度函数为
（2）求的置信水平为
2． 设总体X 的分布函数为
经验分布函数为
3． 设是来自的样本，证明
为
没有无偏估计.
【答案】（反证法）假设的无偏估计，则
由上式可知，等式的左边关于处处可导，而等式的右边在=0处不存在导数. 因此，假不成立，即没有无偏估计.
4． 设随机变量X 服从负二项分布，其概率分布为
证明其成功概率p 共轭先验分布族为贝塔分布族. 【答案】取成功概率p 先验分布为
则
与的联合分布为
所以，
即成功概率p 的后验分布为
分布族.
5． 验证：泊松分布的均值λ的共轭先验分布是伽玛分布.
【答案】泊松分布的概率函数为数为
对来自泊松分布
的样本
的后验分布为
若的先验分布为伽玛分布，其密度函故成功概率p 的共轭先验分布族为贝塔
即的后验分布为共轭先验分布. 6． 设计.
【答案】由于
这就证明了
，是的相合估计.
独立同分布，
，证明：
是的相合估
仍为伽玛分布，这说明伽玛分布是泊松分布的均值的
7． 试分别设计一个概率模型问题，用其解答证明以下恒等式
（1）（2）（3）
【答案】设计如下的试验，计算相应的概率，即可证得相应的恒等式.
（1）口袋中装有N 个球，其中m 个为白球. 从中每次取出一球，不放回. 试求迟早取到白球的概率.
因为袋中N 个球中只有m 个白球，在不放回抽样场合，可能第1次抽到白球，或第2次抽到白球，……，或最迟在N-m+1次必取到白球，若记
为第k 次取到白球的概率，则有
且
即
对上式两边同乘N/m即得（1）. 而（2）（3）两个等式可在如下设计的试验中获得证实. （2）口袋中装有N 个球，其中m 个为白球. 从中每次取出一球，若取出白球，则放回；若取出的不是白球，则换一个白球放回. 试求迟早取到白球的概率.
（3）口袋中装有N 个球，其中m 个为白球. 从中每次取出一球后放回，若取出的不是白球，则不仅放回，且追加一个白球进去. 试求迟早取到白球的概率.