2017年青岛大学经济学院432统计学[专业硕士]考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、证明题
1． 设随机变量\服从柯西分布, 其密度函数为
试证:
当
时, 有
【答案】对任意的即
2． 设
结论得证. 是来自几何分布
的样本, 证明
是充分统计量.
其分布列为
在给定T=t后, 对任意的一个样本
, 有
【答案】由几何分布性质知,
该条件分布与无关, 因而
是充分统计量.
这个条件分布是离散均匀分布, 可用等可能模型给其一个解释:设想有n —1个“1”和t 个“0”, 把它们随机地排成一行, 并在最后位置上添上1个“1”, 譬如
这n 个“1”把此序列分成n 段, 每段中“0”
的个数依次记为且
我们指出, 此种序列共有
, 这就是在
这里诸服从几何分布,
, 而每一个出现是等可能的, 个（这是重复组合）
给定后
的条件联合分布.
即每一个出现的概率都是
这个条件分布还表明:
当已知统计量的值t 后, 就可按此条件分布产生一个样本
（）, 它虽与原样本不尽相同, 但其分布相同. 在功能上这等价于恢复了原样本. 这就是充分
统计量的真实含义.
3． 设为一事件域，
若
试证： （1）（2）有限并（3）有限交（4）可列交（5）差运算【答案】（1）因为（2）构造一个事件序列
由此得（3）因为（4）因为（5）因为
4． 设数为
所以
所以
所以
由
由
为一事件域，所以
其中
故其对立事件
得得
由（3）（有限交）得
是来自均匀分布
其中
的样本，的先验分布是帕雷托（Pareto ）分布，其密度函是两个己知的常数.
（1）验证：帕雷托分布是的共轭先验分布； （2）求的贝叶斯估计. 【答案】（1）同时成立，必须
与
的联合分布为
所以的后验分布为
要使
与
这是一个参数为
与
的帕雷托分布，因此帕雷托分布是的共轭先验分布.
（2）若选用后验期望估计，则
5． 证明：
（1）（2）
【答案】（1）由
移项即得结论.
6． 设P （A ）>0，试证：
（2）对n 用数学归纳法，当n=2时，由（1）知结论成立. 设n-1时结论成立，即
则由（1）知
【答案】因为
所以
7． 设二维随机向量（X , Y ）服从二维正态分布, 且
证明:对任意正常数a , b 有
【答案】记
则
由条件知p<0, 所以
由此得
令