2017年青岛大学经济学院852概率论及数理统计(2)考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、证明题
1． 设A ，B ，C 三事件相互独立，试证A —B 与C 独立.
【答案】因为
所以A-B 与C 独立.
2． 设（
【答案】
）是充分统计量.
的联合密度函数为
注意到
是已知常数, 令
取
由因子分解定理, （
3． 设
则
）是（
）的充分统计量.
, 诸
独立,
是已知常数, 证明
为独立的随机变量序列, 证明:若诸服从大数定律.
的方差一致有界, 即存在常数c 使得
【答案】因为
所以由马尔可夫大数定律知
服从大数定律.
4． 证明公式
其中
【答案】为证明此公式, 可以对积分部分施行分部积分法, 更加简单的方法是对等号两边分别关于p 求导, 证明其导函数相等.
注意到将等式右边的求导可给出_
而对
k=0.
对
其和前后项之间正好相互抵消, 最后仅留下一项,
也为
这就证
明了两者导函数相等, 并注意到两者在p=l时都为0, 等式得证.
5． 设A ，B ，C 为三个事件，且P （A ）=a，P （B ）=2a，P （C ）=3a，P （AB ）=P（AC ）=P（BC ）=b.证明
：
【答案】由又因为所以得 6． 设计.
【答案】由于
这就证明了
，是的相合估计.
独立同分布，
，证明：
是的相合估
进一步由
得
7． 设总体X 服从双参数指数分布, 其分布函数为
其
中明,
服从自由度为2的
为样本的次序统计量. 试证分布
【答案】令（1）, 则的联合密度为
作变换
其雅可比（Jacobi ）行列式为
合密度我们可以知道
的联合密度为
从而
由该联
是独立同分布的随机变量, 且
这是指数分布就证明了
的分布函数, 我们知道
,
,
就是
也就是
. 这
8． 利用特征函数方法证明如下的泊松定理:设有一列二项分布则
【答案】二项分布因为而
的特征函数为, 所以当
时,
则
正是泊松分布的特征函数, 故得证.
是样本, 证明
则
由
因而
由于,
与
的相关系数为
9． 设总体二阶矩存在,
其中
【答案】不妨设总体的方差为
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