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一、计算题

1 图所示, 球M 质量为m , 在一光滑斜管中从点B 开始自由下滑. 已知斜管AB 长为21, 对铅垂轴．

的转动惯量为J , 它与铅垂轴的夹角为x 与斜管转速

斜管的初角速度为

摩擦不计. 求:（1）小球对点0位置

之间的关系；（2）小球沿管道的运动微分方程

.

图

【答案】（1）不计摩擦, 则系统对铅垂轴的动量矩守恒, 得:

解得:

（2）将动坐标系建立在AB 上, 将非惯性系中质点动力学方程向分解, 得:

其中,

解得小球沿管道的运动微分方程为:

化简得:

沿AB 方

2． 质量为m 的杆水平地放在两个半径相同的轮上, 两轮的中心在同一水平线上, 距离为2a. 两轮以等值而反向的角速度各绕其中心轴转动, 如图1所示. 杆AB 借助与轮接触点的摩擦力的牵带而运动, 此摩擦力与杆对滑轮的压力成正比, 摩擦因数为f. 如将杆的质心C 推离其对称位置点0, 然后释放. （1）证明质心C 的运动为谐振动, 并求周期T ; （2）若a=250mm, T=2s时, 求摩擦因数

f.

图1

【答案】

图2

（1）取杆为研究对象, 建立如图所示坐标系, 取O 点为坐标原点, 受力分析如图2所示 根据

可列方程:

解得:

摩擦力为:

杆的运动微分方程是:

代入数值, 整理得:

上式为谐振动微分方程, 其振动周期为:

（2）当a=250mm, T=2s, 解得

3 图1所示均质矩形块质量．

置于平台车上, 车质量

此车沿光滑的水平面运

动, 不计定滑轮质量. 车和矩形块在一起由质量为的物体牵引, 使之作加速运动. 设物块与车之间的摩擦力足够阻止相互滑动, 求能够使车加速运动的质量

的最大值, 以及此时车的加速度大小

.

图1

【答案】（1）以重物由平衡方程其中

（2）以物块和平台整体为研究对象 由平衡方程其中

可得

联立上述两个方程, 解得

为研究对象, 受力分析如图2所示.

可得

图2

当

最大时, 加速度也最大, 以矩形块为研究对象, 在翻倒的临界状态下如图3所示.