2018年浙江师范大学数理与信息工程学院881高等代数考研核心题库
● 摘要
一、填空题
1． 设A , B为3阶矩阵，且
【答案】3 【解析】. 又由于所以
2．
【答案】【解析】
3． 若
则V 对于通常的加法和数乘，在复数域C 上是____维的，而在实数域R 上是____维的. 【答案】2; 4
【解析】在复数域上令则
此即证可由在实数域上, 令
若
. 此即
, 其中
在R 上线性关.
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则=_____
，
，所以.
_____
则
是线性无关的
.
线性表出.
，则
可由
所以在实数域R 上，有
4． 设A , B为3阶矩阵，E 是3阶单位阵，满足
则B=_______ 【答案】【解析】
又因为
线性表出，
已知
可逆. 所以
二、分析计算题
5． （1）设n 阶矩阵A 和B 有相同的特征多项式及最小多项式，问A 与B 是否相似？若是，则给予证明; 若不是，则举出反例;
（2）
设
，这里
都只有一个特征
值
. 证明A 与B 相似的充分必要条件
是
的特征子空间.
分别表示A , B 的属于
【答案】 （1）矩阵A 与B 不一定相似，例如：
显然，A 与B 的特征多项式同为构成，B 由两个
（2）必要性. 因为A 与B 相似，所以充分性. 记A , B 的所以
标准形分别为
，最小多项式同为
与
相似, 从而
, 但由于A 由3个块, 故
块构成，是两个不同的标准形，所以A 与B 不相似.
，因为A , B 都只有一个特征值
，
都只能有以下3种可能性:
现在，由于因此
，故A 与B 相似.
, 所以
，从而
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6． 计算下列n 级行列式：
【答案】原行列式
当
时，为
当
时，为
当
时为零
.
原行列式
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