2018年郑州大学联合培养单位河南工程学院915高等代数考研核心题库
● 摘要
一、分析计算题
1． 如果非奇异n 阶方阵A 的每行元素和均为
试证明
：的行元素和必为
【答案】由假设有
由A 非奇异，从而A 可逆，用
左乘①式两端得
所以，
此即的行元素和为
2． 设
求解方程
【答案】由已知条件可得
由方程组①可得 所以
若记
则由②得
故原方程的通解为
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其中k 为任意常数.
3． 求齐次线性方程组
的解空间（作为
的子空间）的一组标准正交基.
将这3个向量正交化得
再单位化，即得解空间的一组标准正交基:
4． 设B 是实数域上的一个内积, 使得【答案】（1）
（2
）
（3）
（4）
由于
所以
由上可知,
定义了
上的一个内积, 从而成为欧氏空间.
5． 线性空间的和是直和的充要条件是这里
【答案】
）按直和的定义, 必要性显然.
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【答案】齐次线性方程组的一个基础解系为
矩阵, 对任一大于0的常数n
,
证明
单位矩阵.
定义了
成为欧氏空间
.
其中
表示列向量的转置, E 表示
中至少有一个向量可唯一地表示为
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）设有则所以有
且有唯一分解所以存在非零向量
这样得
如果不是直和,
. 又因为子空间的交仍是子空间,
即得的两个不同分解式, 与分解式唯一性相矛盾.
6． （1）把矩阵
（2）设【答案】
令
则
故
现作如下乘积
.
故
己表成所要求的形式
.
先用所给定的初等变换把A 化成
中所述的形状：
先设
则 表成形式为为一复数矩阵，
与
的矩阵的乘积；
的矩阵的乘积.
，证明:A 可以表成形式为
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