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一、分析计算题

1． 设T 是酉空间V 的一个线性变换，证明:下面四个命题互相等价.

（1）T 是酉变换; （2）T 是同构映射； （3）如果【答案】取令所以且

令

，其中为列向量，则

由

知B 为酉矩阵

.

取V 的一组标准正交基

由（4）知D 为酉矩阵，令

为标准正交基

可逆. 故丁是V 到V 的双射

.

且

所以

由

，知

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是标准正交基，那么设T 是酉变换，即

也是标准正交基;

（4）T 在任一组标准正交基下的矩阵为酉矩阵.

为V 的一组标准正交基，且

. 为A 的列向量，由有

也是标准正交基

. 任取V 的一组标准正交基

，由（3）知

也是标准正交基，

, 设

，其中D. 为列向量. 则

由⑦知

由于D 是酉矩阵，因此

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故

综上所述丁是V 的同构映射.

设T 是V 的同构映射，从而有

2． 己知矩阵

式成立，所以T 是酉变换

.

问a , b 为何值时, A 与B 相似,

并求可逆矩阵P 使得【答案】若

则

于是得方程组

解得当

时, 由

故A

的特征值为解方程组

取基础解系

令

3． 计算

则

且

取基础解系

解

方程组

【答案】（1）当时，用第1行的（-1）倍分别加到其它各行得

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按第1行展开得

（2）当

时，将最后一列拆成两项和，所以

①

由对称性，又有

②

再由

4． 设

可解得

为实数域R 上n 元列空间, A 为n 阶实对称方阵. 问:

是否作成【答案】设

的子空间？维数为何？

显然; 又任取

则

①若A 为半正定, 则存在实方阵B 使下先证

但由为实矩阵, 故必有从而又有

即

. 故

但

是

的解空间, 维数为n-r. 因此, W 作成子空间, 维数是

②若A 为半负定, 则是半正定, 又显然

故由①知, W 是子空间, 维数仍为

②若A 是不定的, 则存在实可逆方阵C 使令取则得同理, 取但显然

间.

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从而得

其余从而

其余

即取相应的.

则得相应的

也属于W.

即

为

故此时W 不作成子空