2018年中国石油大学(北京)理学院865高等代数考研核心题库
● 摘要
一、选择题
1． 设A 是n 阶矩阵，a 是n 维向量，若秩
A. B. C. D. 【答案】D 【解析】
阶方阵，且秩
秩
则分块矩阵
有无穷多解 必有惟一解
必有非零解
秩A , 则线性方程组（ ）.
2． 设A 、B 均为2阶矩阵，A*, B*分别为A 、B 的伴随矩阵. 如果
的伴随矩阵为（ ）.
A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由题设
可逆，由于
且
所以
3． 设向量组
A. B.
线性无关，则下列向量组中，线性无关的是（ ）.
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C. D.
【答案】C 【解析】
方法1:令
则有
由
线性无关知
，
该方程组只有零解方法2:对向量组C ，由于
从而
线性无关，且
因为
4．
设行列式
所以向量组
线性无关.
线性无关.
，则方程，为
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】B
的根的个数为（ ）
【解析】因为将原行列式的第1列乘（-1）分别加到其他3列得
有两个根
5． 设
A 为3阶矩阵，将A 的第2列加到第1列得B ，再交换B 的第2行与第3行得单位矩阵. 记
A.
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则A=（ ）.
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C. D.
【答案】D
【解析】由题设知，所以
二、分析计算题
6． 设A 为实反对称矩阵，则
【答案】由阵，则
故由因为
注意到
所以B 是正交矩阵.
7． 求可逆方阵P 使
其中
【答案】易知
化. 对应三个特征值分别解齐次线性方程组:
各得一特征向量
则
（1）
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可逆，且只要证明
可逆，则
是正交矩阵. 可逆. 由A 是实反对称矩
是实反对称矩阵，其特征值是0和纯虚数，设为
的特征值为
的特征值全不为0, 故
可逆.
于是
A 的三个特征值1, 2, 3互异, 故A 可对角
若令