2017年东北大学理学院814代数基础考研强化模拟题
● 摘要
一、选择题
1． 设n （n ≥3）阶矩阵
若矩阵A 的秩为n-1, 则a 必为（ ）. A.1 B. C.-1 D.
故
但当a=l时， 2．
设
是3维向量空
间的过渡矩阵为（ ）
.
的一组基, 则由
基
到基
【答案】B 【解析】
【答案】（A ） 3． 设
又
则（ ）•
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为空间的两组基，且
【答案】（C ） 【解析】令将①代入④得
即
4． 设A 是
A. 如果B. 如果秩
矩阵，则则
为一非齐次线性方程组，则必有（ ）. . 有非零解
有非零解
有惟一解 只有零解
有零解.
由②有
C. 如果A 有阶子式不为零，则D. 如果A 有n 阶子式不为零，则【答案】D 【解析】秩
5． 齐次线性方程组
未知量个数，
的系数矩阵为A ，若存在3阶矩阵
【答案】C 【解析】若当C.
时，
由AB=0, 用
右乘两边，可得A=0, 这与A 卢）矛盾，从而否定B. ，D.
由AB=0，左乘
可得
矛盾，从而否定A ，故选
使AB=0, 则（ ）
.
二、分析计算题
6． 已知1，1，-1是3阶实对称矩阵A 的三个特征值，的特征向量.
（1）求A 的属于（2）求可逆矩阵P ，使【答案】（1）设必正交，则
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是A 的属于
的特征向量.
为对角矩阵.
由A 实对称，属于其不同特征值的特征向量
的特征向量为
解之，得
（2）取-1的特征向量为
故-1的全部特征向量是
令
则故
因为矩阵P 要满足
为对角矩阵，取
则
7． 证明:
一个非零复数是某一有理系数非零多项式的根，
要且只要存在一个有理系数多项式
使【答案】
显然，a 是
的根，因而也是
的根，令
则
若由
则
可知
如此继续，总有一个时刻，使
因而我们不妨在等式
中设从而有
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的根
.
设为非零有理系数多项式
则有