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一、选择题

1． 设A ，B 为同阶可逆矩阵，则（ ）.

A.AB=BA

B. 存在可逆阵P ，使

C. 存在可逆阵C 使 D. 存在可逆阵P ，Q ，使PAQ=B

【答案】D 【解析】

2． 设线性方程组

的解都是线性方程组的解，则（ ）。

【答案】（C ） 【解析】设

的解空间分别为

则

所以

即证秩

3． 设A 是

矩阵，为一非齐次线性方程组，则必有（ ）. A. 如果则. 有非零解

B. 如果秩

则

有非零解

C. 如果A 有阶子式不为零，则有惟一解 D. 如果A 有n 阶子式不为零，则只有零解

【答案】D

【解析】秩未知量个数，有零解.

4． 设A 、B 、C 均为n 阶矩阵，E 为n 阶单位矩阵，如B=E+AB, C=A+CA, 则B —C 为（ A.E B.-E C.A D.-A

【答案】A

【解析】由题设（E-A ）B=E, 所以有

B （E-A ）=E.

又C （E-A ）=A，故

（B-C ）（E-A ）=E-A.

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.

）

结合E-A 可逆，得B-C=E.

5． 设A 为n 阶可逆矩阵，交换A 的第1行与第2行得B ，则有（ ）.

A. 交换A*的第1列与第2列得B* B. 交换A*的第1行与第2行得B* C. 交换A*龙第1列与第2列得-B* D. 交换A*的第1行与第2行得-B* 【答案】C

【解析】解法1:题设P （1, 2）A=B，所以有

又

所以有

即A*右乘初等阵P （1，2）得-B*

解法2:题设P （1，2）A=B，所以丨B 丨=-丨A 丨. 因此

分别为A ，B 的伴随矩阵，

即

二、分析计算题

6． 设P 是一个数域，意

证明:（1）对于（2

）对任意

理想，

且

是

的最大公因式. ，

取

则结论成立. 若这里

由

（2）

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是P 上的一元多项式环. 称

有

的非空子集I 为

的理想，如果对任

中任意理想I , 存在使得对于任意

是

的

【答案】（1

）若

作带余除法

然，

取I

中次数最低的首一多项式为

则

不

是余式.

只要证

这

与使得

的取法矛盾，

故

于是

有

故I 是P[x]的理想. ，J 中存在由（1）g （x ）

的公因式. 由J 的定义知

7． 证明与下述若尔当块

的组合，故

是

的最大公因式.

显然

于是

，是f （x ）

交换的矩阵一定是A 的多项式. 【答案】方法1设

满足

计算

自由。

故

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