2017年大连海事大学数学系835高等代数考研仿真模拟题
● 摘要
一、选择题
1． 设
A. 合同且相似 B. 合同但不相似 C. 不合同但相似 D. 不合同不相似 【答案】A
【解析】因为A ，B 都是实对称阵，且B 有4个特征值
又因为即A 也有4个特征值0，0，0，4. 因而存在正交阵
其中
故A 〜B.
再由
是正交阵，知T 也是正交阵，从而有
且由①式得
则A 与B （ ）.
使
因此A 与B 合同. 2． 设
其中A 可逆，则A.
B.
C.
D. 【答案】C
=（ ）.
【解析】因为
3． 在n 维向量空间取出两个向量组，它们的秩（ ）.
A. 必相等
B. 可能相等亦可能不相等 C. 不相等
第 2 页，共 45 页
【答案】B 【解析】比如在
若选
从而否定A ,
若选
从而否定C ,
中选三个向量组
故选B.
4． 设A 、B 、C 均为n 阶矩阵，E 为n 阶单位矩阵，如B=E+AB, C=A+CA, 则B —C 为（ ）.
A.E B.-E C.A D.-A
【答案】A
【解析】由题设（E-A ）B=E, 所以有
B （E-A ）=E.
又C （E-A ）=A，故
（B-C ）（E-A ）=E-A.
结合E-A 可逆，得B-C=E.
5． 设
是非齐次线性方程组
的两个不同解，
是
的基础解系，
为任意常数，
则Ax=b的通解为（ ）•
【答案】B 【解析】因为中
不一定线性无关. 而
由于故
是
因此
线性无关，且都是
知
的解. 是
的特解，因此选B.
所以
因此
不是
的特解，从而否定A , C.但D
的基础解系. 又由
二、分析计算题
6． 证明：如果向量组
【答案】
可以由向量组
线性表出，那么线性表出，
第 3 页，共 45 页
的秩不超过线性表出，
的秩. 与它的极大线
的极大线性无关组可由可由
性无关组等价，无关组可由数
7． 设一组基.
【答案】由线性 表示. 反证，若
能由的极大线性无关组线性表出. 由线性表出的传递性，
的秩
的秩.
的极大线性
的极大线性无关组表出. 这时可利用定理2的推论1, 的极大线性无关组中向量
的极大线性无关组中向量数，即
，则V 是有理数域Q 上的线性空间，求V 的维数和
则1线性无关. 显然
不能用1线性表示，故1, 线性无关. 下证
不能用
两边平方，得
由
是无理数知
矛 盾. 这就证明了
不能用1,
线性表示，故1, .
_线性无关.
是V 的基，其维数为S.
显然V 中的每一向量都可以用1，
8． 设A 是n 阶实对称矩阵，且满足
【答案】A 是正定矩阵.
分析由式（5-11）可得A 的一个零化多项式，讨论特征值比较方便. 证明由式（5-11）知
是A 的零化多项式，从而A 的特征
值仅能为1，3，±2i. 由A 是实对称矩阵，则其特征值为实数，于是的特征值只能为1，3, 即A 的特征值全大于0, 故A 正定.
9． 设f 为双线性函数，且对任意的
求证：f 为对称的或反对称的 【答案】令（1）若
（2）若
所以 10．
设
均为n 维线性空间V 的子空间，
且
是否正确. 说明理由.
【答案】如上结论不正确.
例如，令n=3, 取V 为三维几何空间，
分别为
面上不共线三向量生成的子空间，
判断
都有
有则
有则
即f 为反对称的.
有
，即厂为对称的.
从而有
都有
.
线性表示，故1，
若
则
于是
矛盾，
故
. 代人式（6-6
）立知
第 4 页，共 45 页