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一、选择题

1． 设向量组

线性无关，则下列向量组中，线性无关的是（ ）

【答案】C 【解析】方法1:令

则有

由

线性无关知，

该方程组只有零解方法2:对向量组C ，由于

从而

线性无关，且

因为所以向量组

2． 齐次线性方程组

线性无关.

线性无关.

的系数矩阵为A ，若存在3阶矩阵

【答案】C

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使AB=0, 则（ ）

.

【解析】若当C.

3． 设

其中A 可逆，则A.

B.

C.

D. 【答案】C 【解析】因为 4．

设

时，

由AB=0, 用右乘两边，可得A=0, 这与A 卢）矛盾，从而否定B. ，D.

由AB=0，左乘

可得

矛盾，从而否定A ，故选

=（ ）.

是3维向量空

间的过渡矩阵为（ ）

.

的一组基, 则由

基

到

基

【答案】（A ）

5． 设A 为3阶矩阵，将A 的第2行加到第1行得8, 再将B 的第1列的一1倍加到第2列得C ，

记

A. B. C. D.

【答案】B

则（ ）.

【解析】由已知，有

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于是

二、分析计算题

6． 设是实数域R 上的3维线性空间V 内的一个线性变换，对V 的一组基

（1）求的全部特征值和特征向量；

（2）设

求的一个非平凡的不变子空间.

下的矩阵为A ，由题设有

计算可得所以当令（2）由于

时，由

另外两个为虚根，不属于实数域，应舍去，即在实数域R 上仅有一个特征值3.

可得特征向量为令从而有特征值

也是B 的特征向量， 令

则W 是的特征子空间，从而为的非平凡的不变子空间，且

是W 的一组基.

7． 设T 是数域K 上线性空间矿的一个可逆线性变换. 证明：

①T 的特征值都不等于零； ②若是T 的特征值，则

是

的特征值.

是T 的属于0的特征向量，则

与矛盾. 且由上可得

即

亦即

为

的一个特征值.

【答案】①反证法设若T 有特征值0, 而又因为T 可逆，故

因为T 可逆，由①知

其中k 为任意非零实数.

则属于特征值3的全部特征向量为

【答案】（1）设在基

有

②设为T 的属于特征值的特征向量，即

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