2017年南通大学数学学科基础综合之工程数学—线性代数考研复试核心题库
● 摘要
一、计算题
1． 设
线性无关，
线性相关, 求向量B 用
线性表示的表示式.
使
【答案】方法一、因
线性相关，故存在不全为零的常数
，不然，由上式得
，这与
不全为零矛盾. 于是得
方法二、因关. 又因
线性无关，故
线性相关，故
，于是存在使
2． （1
）设
求X 使
线性相关，即
线性相
因线性无关，故
（2
）设求x 使
而判断A 是否可逆和求
【答案】（1）若A 是可逆矩阵，则可求得矩阵方程的解为解可通过（A , B ）的行最简形一起解决：即若时，把B 变为
则A 可逆，并且初等行变换把A 变为E 的同
于是A 可逆，且（2）用初等列变换求
但通常习惯用初等行变换求X.
因，计算如下：
于是从而
3． 设3阶矩阵A 的特征值为
对应的特征向量依次为
求A.
【答案】因A 的特征值互异，故知向量组P 为可逆阵，且有
用初等行变换求得
线性无关，于是若记矩阵
则
于是
4． 判定下列二次型的正定性：
（1）（2）
【答案】（l ）f 的矩阵
它的1阶主子式
3阶主子式，即（2）f 的矩阵
2
阶主子式
则知f 为负定二次型.
它的1阶主子式1>0; 2阶主子式
知f 为正定二次型.
5． 求解下列方程：
（1）
【答案】（1）左式
（2）
，3阶主子式，即则
其中a , b ，c 互不相等，
于是方程的解为：
（2）注意到方程左式为4阶范德蒙德行列式，则可得（x-a ）（x-b ）（x-c ）（a-b ）（a-c ）=0.因a , b , c 互不相等，故方程的解为：
6． 设A , B 都是矩阵，证明A 〜B 的充要条件是R （A ）=R（B ）.
【答案】必要性即课本结论，故只需证明充分性. 设R （A ）=R（B ）=r，那么矩阵A ，B 有相同的标准形
7． 设向量组
【答案】对含参数a 和b 的矩阵
的秩为2, 求a , b.
作初等行变换，以求其行阶梯形
.
于是A 〜F ，B 〜F ，从而由等价关系的对称性和传递性，知A 〜B.
于是
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