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一、计算题

1． n 阶对称阵的全体V

对于矩阵的线性运算构成一个以A 表示V 中的任一元素，变换换.

【答案】

由变换T 的定义，有

. 因此

，即T 是v 中的变换. 又

维线性空间. 给出卵阶可逆矩阵P ，

称为合同变换. 试证明合同变换T 是V 中的线性变

由线性变换的定义，知T 是y 中的线性变换.

2． 证明对称阵A 为正定的充要条件是：存在可逆阵U ，使

【答案】充分性：若存在可逆阵U , 使处的值

即矩阵A 的二次型是正定的，从而由定义知.A 是正定矩阵. 必要性：因A 是对称阵，必存在正交阵Q , 使

其中

2, …, n 记对角阵从而

显然U 可逆，

并且由上式知

3． 设n 阶行列式

记

是A 的全部特征值. 由A 为正定矩阵，

故

任取

即A 与单位矩阵E 合同. 就有

并且A 的二次型在该

把D 上下翻转、或逆时针旋转90°、或依副对角线翻转，依次得

，为此通过交换行将

变换成D , 从而找出

与D 的关系.

的最后

证明

【答案】（1）先计算

一行是D 的第1行，把它依次与前面的行交换，直至换到第1行，共进行n-1次交换；这时最后一行是D 的第2行，把它依次与前面的行交换，直至换到第2行，共进行n-2次交换；... ，直至最后一行是D 的第n-1行，再通过一次交换将它换到第n-1行，这样就把

次交换，故

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变换成D ，

共进行

（2）计算下翻转得

则

注意到

的第1，2, ... ，n 行恰好依次是D 的第n ，n-1, ... ，1列，故若把

于是由（1）

（3）计算

，注意到若把

逆时针旋转90°得

则

的第1，2, …，n 列恰好是D 的第

4． 设n 阶矩阵A ，B

满足

【答案】显然A 与B 的对应A 与B 有对应于

另一方面，

证明A 与B 有公共的特征值，有公共的特征向量. 则A 不可逆，0是A 的特征值；

n , n-1, …1列，于是再把

左右翻转就得到D. 由（1）之注及（2）, 有

上

的第1，2, ... ，n 行依次是D 的第1，2, ... ，n 列，即

同理，0也是B 的特征值，于是A 与B 有公共的特征值0.

的特征向量依次是方程Ax=0和Bx=0的非零解. 于是 的公共特征向量

另一方面. 由矩阵秩的性质

综上，A 与B 有公共的特征向量.

5． 2阶对称矩阵的全体间.

在

中取一个

某

求T 在基

【答案】对于i=l, 2, 3, 把次看倒

’

下的矩阵. 中的向量，并记为

分别计算基向量在T 下的像如下：

对干矩阵的线性运算构成3维线性空

在V 中定义合同变

换

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从而

即T 在基 6． 由

下的矩阵是

，

，试证

所生成的向量空间记作

线性无关，

由

也线性无关. 又因

，

所生成的向量空间记作

【答案】因对应分量不成比例，故

于是

则知向量组

与

等价，从而

7． 下列矩阵是不是正交矩阵? 并说明理由：

【答案】（1）不是，因第1个列向量不是单位向量；

（2）是，因为此矩阵的3个列向量构成规范正交基，即它们两两正交，并且都是单位向量.

8． 利用对角线法则计算下列三阶行列式：

（1）

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