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一、计算题

1． 在R 中取两个基

（1）求由前一个基到后一个基的过渡矩阵； （2）求向量

【答案】（1）显然有

在后一个基下的坐标；

（3）求在两个基下有相同坐标的向量

所以过渡矩阵为（2）设向量在后一个基

下的坐标为

则由坐标变换公式，有

（3）设向量Y

在两个基下有相同的坐标

为Y ，则

，

由坐标变换公式并仍记坐标向量

即（P-E ）Y=0.易求得此齐次线性方程系数矩阵的秩R （P-E ）=3,

从而解空间的维数等于1，且为它的一个基础解系. 故所求向量为k 为任意常

数.

2． 设A 为列满秩矩阵，AB=C, 证明方程Bx=0与Cx=0同解.

【答案】若x 满足Bx=0, 则ABx=0, 即Cx=0.

若x 满足Cx=0, 即ABx=0, 因A 为列满秩矩阵，知方程Ay=0只有零解，故Bx=0. 综上即知方程Bx=0与Cx=0同解.

3． 求一个正交变换化下列二次型成标准形

（1）（2）

【答案】（1）二次型f 的矩阵为

它的特征多项式为

所以A 的特征值值为

对应特征值

解方程（A-E ）x=0，由

得单位特征向量对应特征值

解方程（A-2E ）x=0，由

得单位特征向量

对应特征值解方程（A-5E ）x=0, 由

得单位特征向量

令

则P 为正交阵，再作正交变换x=Py, 便把f 化为标准形

（2）二次型的矩阵为

它的特征多项式为

所以A 的特征值为对应

解方程（A-2E ）x=0,

由

得单位特征向量

对应

解方程（A-E ）x=0, 由

得单位特征向量

对应解方程（A+E）x=0, 由

得单位特征向量

令

则P 为正交阵. 再作正交变换x=Py,

4． 证明R （A ）=1的充分必要条件是存在非零列向量a 和非零行向量

【答案】先证充分性.

设按矩阵秩的性质，由于是R （A ）=1.

再证必要性. 设

并+妨设

有

因R （A ）=1.知A 的所有二阶子式均为零. 故对A 的任一元

即

，上式当i=k或j=l时也显然成立. 于是

有

，使

，知

即化f 为标准形：

并不妨设

另一方面，A 的（1，1）元

令

则因

故

分别是非零列向量和非零行向量，且有