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一、计算题

1． 设

，求一个4×2矩阵B , 使AB=0, 且R （B ）=2.

，因R （B ）=2, 故

且

线性无关.

是方程Ax=0的解；并旦这方程的

【答案】设B 按列分块为又因

系数矩阵A 的秩R （A ）=2.于是可知

是它的一个基础解系

.

得

分别取，得此方程的一个基础解系为，.

于是，令 2． 由

就满足题目的要求.

，

，试证

所生成的向量空间记作

线性无关，

由

也线性无关. 又因

，

所生成的向量空间记作

【答案】因对应分量不成比例，故

于是

则知向量组 3． 设

,

,

与

等价，从而

证明三直线

相交于一点的充要条件为向量组a ，b 线性无关，且向量组a ，b ，c 线性相关. 【答案】三直线有惟一解

相交于一点

非齐次方程

向量组a ，b 线性无关，且向量组a ，b ，c 线性相关.

4． 设A 为列满秩矩阵，AB=C, 证明方程Bx=0与Cx=0同解.

【答案】若x 满足Bx=0, 则ABx=0, 即Cx=0.

若x 满足Cx=0, 即ABx=0, 因A 为列满秩矩阵，知方程Ay=0只有零解，故Bx=0. 综上即知方程Bx=0与Cx=0同解.

5． 用克拉默法则解下列方程组：

（1）

（2）

【答案】（1）

由克拉默法则，得

（2）

而

于是D=325-114=211;