2017年南通大学数学学科基础综合之工程数学—线性代数复试仿真模拟三套题
● 摘要
一、计算题
1． 设
,
,
证明三直线
相交于一点的充要条件为向量组a ，b 线性无关，且向量组a ，b ，c 线性相关. 【答案】三直线有惟一解 2． 设向量组线性表示.
【答案】方法一、
因为向量组使
按足标从大到小考察上式中系
数
. 此足标
全为零矛盾. 这时（1）式成为
于是上述向量即满足要求. 方法二、记
. 由题设，A 的列向量组线性相关，故
线性表示.
是
的全部特征值. 由特是
相交于一点非齐次方程
向量组a ，b 线性无关，且向量组a ，b ，c 线性相关.
线性相关，且
证明存在某个向量
，使能由
，
线性相关，由定义知，存在不全为零的数
，设其第一个不为零的数
为
由
知
. 也
即，
但
如若不然，
该式成为，此与这些系数不
设是A 的行阶
因
能由
梯形，则中一定存在不含非零首元的列
3． 已知3阶矩阵A 的特征值为1, 2, 3, 求
【答案】
令
的特征值. 又：
征值性质得
，注意到的第1列是含非零首元的，故
线性表示，故A 中对应的也能由
因1，2, 3是A 的特征值，
故
为3阶方阵，于是
4． 试求一个正交的相似变换矩阵，将下列对称阵化为对角阵；
【答案】（1）先求特征值：
所以A 的特征值为
再求特征向量： 对应
解方程（A+2E）x=0, 由
得单位特征向量对应
解方程（A-E ）x=0, 由
得单位特征向量
对应
解方程（A-4E ）x=0，由
得单位特征向量则P 为正交阵，且有
令
（2）
所以A 的特征值为
对应
解方程
由
得单位特征向量
对应
解方程（A-E ）x=0, 由
得线性无关特征向量：
将
正交化得：
再分别单位化得：
令
则P 为正交阵，且有